笛卡尔积（映射）

笛卡尔积
术语名称	笛卡尔积
英语名称	Cartesian product
别名	直积

映射的笛卡尔积(Cartesian product)是对两个或多个定义域相同的映射，类似于笛卡尔积把集合的元素组成元组，映射的笛卡尔积把这些映射下的像组成元组。 换句话说，是定义了一个从这个定义域到这些陪域的笛卡尔积的新映射，这个新映射把其中的每个元素映射到各映射下的像构成的元组。

定义

笛卡尔积
运算名称	笛卡尔积
运算符号	[math]\displaystyle{ \times }[/math]
Latex	\times
运算对象	映射
运算元数	2
运算结果	映射
定义域	[math]\displaystyle{ Y^X \times Z^X }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ (Y\times Z)^X }[/math]

对映射 [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math] 、 [math]\displaystyle{ g: X \to Z }[/math] ，记映射 [math]\displaystyle{ f \times g : X \to Y \times Z }[/math] ，将任意属于定义域 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的元素 [math]\displaystyle{ x }[/math] 映射到像构成的有序对 [math]\displaystyle{ (f(x),g(x)) }[/math] ，叫做映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 与映射 [math]\displaystyle{ g }[/math] 的笛卡尔积(Cartesian product)，也称为直积(direct product)，记作 [math]\displaystyle{ f \times g }[/math]。即： [math]\displaystyle{ f \times g : = X \to Y\times Z; x \mapsto (f(x), g(x)) }[/math]。

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字符	×
Unicode码位	U+00D7 Multiplication sign
Latex命令序列	\times

集合范畴 [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math]
对应数学对象
对象	集合	[math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathbf{Set}) }[/math]	全体集合构成的真类	小范畴？	否
态射	映射	[math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(A,B) }[/math]	[math]\displaystyle{ B^A }[/math]	局部小范畴？	是
自同态 [math]\displaystyle{ \mathrm{End}_\mathbf{Set}(A) }[/math]	变换 [math]\displaystyle{ A^A }[/math]	复合法则 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]	映射的复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]	单位态射 [math]\displaystyle{ i_A }[/math]	恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_A }[/math]
态射类型
单态射	单射	满态射	满射	双态射	双射
分裂单态射	单射	分裂满态射	满射	同构 [math]\displaystyle{ \mathrm{Iso}_\mathbf{Set}(A,B) }[/math]	双射
自同构 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}_\mathbf{Set}(A) }[/math]	置换 [math]\displaystyle{ S_A }[/math]·[math]\displaystyle{ \mathrm{Sym}(A) }[/math]			同构的逆 [math]\displaystyle{ ^{-1} }[/math]	逆映射 [math]\displaystyle{ ^{-1} }[/math]
泛在结构
始对象 态射	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] 空映射	终对象 态射	单点集 [math]\displaystyle{ \{*\} }[/math] 常值映射	是零对象？	否
积 [math]\displaystyle{ \times }[/math] 积态射	有任意积 笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math] 映射的笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]	余积 [math]\displaystyle{ \coprod }[/math] 余积态射	有任意余积 不交并 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math] 分段映射