稠密

稠密性
术语名称	稠密性
英语名称	density
别名	序稠密性

稠密的
术语名称	稠密的
英语名称	dense
别名	序稠密

稠密性(density)指一个偏序或全序中，任何两个不同元素间都存在其他元素。描述了元素分布的“密集”程度。

本文的主题是序理论中的稠密性，区别于拓扑学中的稠密性。

定义

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \leq) }[/math] ，记其严格偏序为 [math]\displaystyle{ \lt }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall x, y \in P)(x \lt y \rightarrow (\exists z \in P)(x \lt z \land z \lt y)) }[/math] ，则称偏序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 是稠密的(dense)，具有稠密性(density)。有稠密序的偏序集 [math]\displaystyle{ P }[/math] 称为稠密序集。

注：这一性质一般定义在偏序或全序上，本文也仅考虑这样的稠密关系。但稠密性也允许泛化用于一般二元关系。

性质

• 稠密序中不存在前趋或后继元素。
• 稠密序在序嵌入下保持稠密性。
• 有稠密序的集合一定无限。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]