否定

否定
术语名称	否定
英语名称	negation
别名	逻辑否定, logical complement

否定式
术语名称	否定式
英语名称	negative formula

否定命题
术语名称	否定命题
英语名称	negative proposition

否定(negation)是一个一元逻辑联结词。将一个命题转换为其反面，即“该命题为假”所对应的命题。 否定命题的真值与原命题相反。

定义

否定
运算名称	否定
运算符号	[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]
Latex	\lnot, \neg
运算对象	命题公式
运算元数	1
运算结果	命题公式
结构	布尔代数

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

• 仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假；
• 仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 的否定(negation)，记为 [math]\displaystyle{ \lnot P }[/math] ，读作非 [math]\displaystyle{ P }[/math] (not [math]\displaystyle{ P }[/math]) 。 其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 称为否定词。

¬
字符	¬
Unicode码位	U+00AC Not Sign, Angled Dash
Latex命令序列	\lnot

否定的其他常见记号有 [math]\displaystyle{ \sim P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \bar{P} }[/math]。

主联结词为否定词的公式称为否定式(negative formula)； 主联结词为否定词的命题称为否定命题(negative proposition)。

真值表

[math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 的真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]
T	F
F	T

性质

• 双重否定律（具有对合性）：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \lnot\lnot P = P }[/math] 。
• 德·摩根律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B }[/math]、[math]\displaystyle{ \lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B }[/math] 。
• 矛盾律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] ， [math]\displaystyle{ P \land \lnot P = \mathrm{F} }[/math] 。
• 排中律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] ， [math]\displaystyle{ P \lor \lnot P = \mathrm{T} }[/math] 。

不同逻辑系统中的否定

以上为经典逻辑中的否定：否定是真值函数的，完全由真值表定义。且满足双重否定律和排中律，其中否定是对合的，应用两次否定回到原命题。

• 直觉主义逻辑不承认双重否定律 [math]\displaystyle{ \lnot\lnot P = P }[/math] ，认为排中律 [math]\displaystyle{ P \lor \lnot P }[/math] 不是普遍有效的。
• 多值逻辑中，真值的取值可能性更多，否定可能有更复杂的定义方式。
• 模糊逻辑中，否定定义为 [math]\displaystyle{ \lnot P = 1 - P }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] 区间内的真值度。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
			T								F
名称			真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]								假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制编号			0								1
编号			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制编号			00				01				10				11
编号			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
		F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
		F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取 异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取 且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价 当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴涵 推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取 或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制编号			0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
编号			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15