析取

析取
术语名称	析取
英语名称	disjunction
别名	逻辑或, logical OR, 相容或, 可兼或, inclusive or, inclusive disjunction

析取(disjunction)是二元逻辑联结词，表示“命题中至少一个为真”所对应的命题。对应自然语言中的或的一部分用法。

通常意义上的“或”可能指“相容或”（析取）或“排斥或”（互斥析取）。

定义

析取
运算名称	析取
运算符号	[math]\displaystyle{ \lor }[/math]
Latex	\lor, \vee
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式
结构	布尔代数

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

• 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
• 当 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为真时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
• 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 同时都为假时，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 与命题 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的析取(disjunction)，记作 [math]\displaystyle{ P \lor Q }[/math]，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 或 [math]\displaystyle{ Q }[/math]([math]\displaystyle{ P }[/math] or [math]\displaystyle{ Q }[/math]) 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 析取 [math]\displaystyle{ Q }[/math]。 其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \lor }[/math] 称为析取词。

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字符	∨
Unicode码位	U+2228 Logical Or, Vee, Disjunction
Latex命令序列	\lor, \vee

析取的其他常见记号有 [math]\displaystyle{ P+Q }[/math] 、 [math]\displaystyle{ P \vert Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ P \Vert Q }[/math]。

主联结词为析取词的公式称为析取式(disjunctive formula)； 主联结词为析取词的命题称为析取命题(disjunctive proposition)。

真值表

[math]\displaystyle{ \lor }[/math] 的真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

性质

• 布尔代数
  • 幂等律：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] ， [math]\displaystyle{ P \lor P = P }[/math] 。
  • 结合律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (P \lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R) }[/math] 。
  • 交换律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P \lor Q = Q \lor P }[/math] 。
  • 对合取的分配律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P \lor (Q \land R) = (P \lor Q) \land (P \lor R) }[/math] 。
  • 吸收律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \land (P \lor Q) = P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ P \lor (P \land Q) = P }[/math] 。
  • 德·摩根律：对于任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ \lnot (P \land Q) = \lnot P \lor \lnot Q }[/math]、[math]\displaystyle{ \lnot (P \lor Q) = \lnot P \land \lnot Q }[/math] 。
  • 特殊值
    • [math]\displaystyle{ P \lor \mathrm{F} = P }[/math] 。
    • [math]\displaystyle{ P \lor \mathrm{T} = \mathrm{T} }[/math] 。

不同逻辑系统中的析取

以上为经典逻辑中的析取：析取是真值函数的，完全由真值表定义。

• 多值逻辑、模糊逻辑中，真值的取值可能性更多，析取可能有更复杂的定义方式。

自然语言中，连词“或”、“还是”等都可能表达析取的逻辑关系，也有可能通过选择性的并列短语、并列关系分句隐含表达析取关系。 但是自然语言中这些用法往往也有隐含顺序语义，有时有其他关系，并不一定都是析取。 自然语言中的“或”还可能有互斥含义，也就是互斥析取。

多元析取

对命题 [math]\displaystyle{ P_1, P_2, \dots , P_n }[/math] ，由“这些命题中任意一个为真”所对应的命题，叫做这些命题的析取(disjunction)，记作 [math]\displaystyle{ P_1 \lor P_2 \lor \dots \lor P_n }[/math] ，也记作 [math]\displaystyle{ \bigvee_{i=1}^n P_i = P_1 \lor P_2 \lor \dots \lor P_n }[/math]。

在此基础上， 1 个命题的析取定义为命题自身， 0 个命题的析取定义为假。

多个命题的析取也可以等价地定义为这些命题两两进行析取，由于满足结合律、交换律而顺序无关，也不需要区分二元运算和多元运算。

多元析取也可以定义在可数无穷或不可数无穷命题上。

真值表

多元 [math]\displaystyle{ \lor }[/math] 的真值表

[math]\displaystyle{ p_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ p_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \dots }[/math]	[math]\displaystyle{ p_n }[/math]	[math]\displaystyle{ \bigvee_{i=1}^n p_i }[/math]
T	?	?	?	T
?	T	?	?	T
?	?	⋱	?	⋮
?	?	?	T	T
F	F	F	F	F

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
			T								F
名称			真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]								假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制编号			0								1
编号			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制编号			00				01				10				11
编号			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
		F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
		F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取 异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取 且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价 当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴涵 推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取 或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制编号			0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
编号			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15