函子
| 函子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 函子 |
| 英语名称 | functor |
| 共变函子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 共变函子 |
| 英语名称 | covariant functor |
| 反变函子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 反变函子 |
| 英语名称 | contravariant functor |
| 别名 | 余函子, cofunctor |
| 自函子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 自函子 |
| 英语名称 | endofunctor |
函子(functor)指范畴间保持态射合成关系的“映射”。
考虑到如果不是保持，而是刚好反转合成顺序，也保持了结构，称这种为反变函子(contravariant functor)，而称普通的函子为共变函子(covariant functor)。
定义
对范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 及范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] ，若有 [math]\displaystyle{ F }[/math] 满足：
- 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 中的每个对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 关联到 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 中的对象，记作 [math]\displaystyle{ F(X) }[/math] ，
- 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 中的每个态射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] 关联到 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 中的态射 [math]\displaystyle{ F(f):F(X)\to F(Y) }[/math] ，且满足：
- [math]\displaystyle{ (\forall X \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})) ( F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)} ) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall X, Y, Z \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}))(\forall f: X \to Y)(\forall g: Y \to Z) F(g \circ_\mathcal{C} f) = F(g) \circ_\mathcal{D} F(f) }[/math]
则称 [math]\displaystyle{ F }[/math] 为一个由 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 到 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 的函子(functor)，记作 [math]\displaystyle{ F:\mathcal{C} \to \mathcal{D} }[/math]。也称为共变函子(covariant functor)。
换句话说，（共变）函子保持了原范畴中的任意以下三角形：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccccccc} X &\xrightarrow{g\circ f} &Z & & F(X) &\xrightarrow{F(g)\circ F(f)} &F(Z) \\ {\small f} \searrow && \nearrow {\small g} & \xrightarrow{F} & {\small F(f)} \searrow && \nearrow {\small F(g)} \\ & Y &&&& F(Y) & \\ \end{array} }[/math]
对范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 及范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] ，若有 [math]\displaystyle{ F }[/math] 满足：
- 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 中的每个对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 关联到 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 中的对象，记作 [math]\displaystyle{ F(X) }[/math] ，
- 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 中的每个态射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] 关联到 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 中的态射 [math]\displaystyle{ F(f):F(Y)\to F(X) }[/math] ，且满足：
- [math]\displaystyle{ (\forall X \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})) ( F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)} ) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall X, Y, Z \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C}))(\forall f: X \to Y)(\forall g: Y \to Z) F(g \circ_\mathcal{C} f) = F(f) \circ_\mathcal{D} F(g) }[/math]
则称 [math]\displaystyle{ F }[/math] 为一个由 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 到 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 的反变函子(contravariant functor)。
换句话说，反变函子保持了原范畴中的任意以下三角形，但是箭头方向反向：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccccccc} X &\xrightarrow{g\circ f} &Z & & F(X) &\xleftarrow{F(f)\circ F(g)} &F(Z) \\ {\small f} \searrow && \nearrow {\small g} & \xrightarrow{F} & {\small F(f)} \nwarrow && \swarrow {\small F(g)} \\ & Y &&&& F(Y) & \\ \end{array} }[/math]
注：反变函子可以被处理成函子 [math]\displaystyle{ F: \mathcal{C}^\mathrm{op} \to D }[/math] 。
注：也有人将函子定义为分别关于对象和态射的两个关联的有序对。
对范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] ，一个函子 [math]\displaystyle{ F:\mathcal{C}\to\mathcal{C} }[/math] 称为范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 的一个自函子(endofunctor)。
| 范畴、态射 | ||
|---|---|---|
| 基本概念 | 范畴 | 态射、交换图 |
| 态射 | 单态射、满态射 | 双态射 |
| 分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面） | 同构 | |
| 泛在结构、泛性质 | ||
| 终端对象 | 始对象、终对象 | 零对象、零态射 |
| 泛在结构 | 切片范畴、余切片范畴 | - |
| 楔、余楔·楔范畴、余楔范畴 | 积、余积 | |
| 锥、余锥·锥范畴、余锥范畴 | 极限、余极限 | |
| - | 等化子、余等化子 | |
| - | 核、余核 | |