子范畴

子范畴
术语名称	子范畴
英语名称	subcategory

满子范畴
术语名称	满子范畴
英语名称	full subcategory

子范畴(subcategory)指一个范畴的对象和态射都是另一个范畴中的。

满子范畴(full subcategory)指这个范畴是子范畴，且任何两个处于子范畴内的对象间，态射集和在原范畴中相同。

定义

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] ，若：

对象类之间有包含关系 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathcal{D}) \subseteq \mathrm{Obj}(\mathcal{C}) }[/math] ，
态射的合成之间是限制关系 [math]\displaystyle{ \circ_\mathcal{D} = \circ_\mathcal{C}|_\mathcal{D} }[/math] ，
态射集之间是包含关系 [math]\displaystyle{ (\forall A, B \in \mathrm{Obj}(\mathcal{D}) \subseteq \mathrm{Obj}(\mathcal{C}))(\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(A, B) \subseteq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A, B)) }[/math] ，

则称范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 是范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 的子范畴(subcategory)。

若将条件改为：

对象类之间有包含关系 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathcal{D}) \subseteq \mathrm{Obj}(\mathcal{C}) }[/math] ，
态射的合成之间是限制关系 [math]\displaystyle{ \circ_\mathcal{D} = \circ_\mathcal{C}|_\mathcal{D} }[/math] ，
态射集之间是相等关系 [math]\displaystyle{ (\forall A, B \in \mathrm{Obj}(\mathcal{D}) \subseteq \mathrm{Obj}(\mathcal{C}))(\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(A, B) = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A, B)) }[/math] ，

则称范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 是范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 的完全子范畴(full subcategory)。