相容关系

相容关系
术语名称	相容关系
英语名称	tolerance relation

相容关系(compatibility relation)指集合上的一个二元关系同时是自反关系、对称关系。 其传递闭包是一个等价关系。 相容关系中，每个元素和与其相容的元素共同构成一个相容邻域； 所有元素两两相容的子集称为相容类；相容类之间可以相交，构成原集合的一个覆盖； 有交集的相容类将集合划分成其的等价类。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，如果同时满足自反性、对称性，即满足：

• 自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \sim a) }[/math] ；
• 对称性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \sim b \leftrightarrow b \sim a) }[/math] 。

称关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] 为一个相容关系(tolerance relation)。

结构

相容邻域
术语名称	相容邻域
英语名称	tolerance neighborhood

对 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的相容关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，与元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 有关系全部元素构成 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的相容邻域(tolerance neighborhood)，记作 [math]\displaystyle{ [a]=\{x\in X\mid x\sim a\} }[/math] 。

相容类
术语名称	相容类
英语名称	tolerance class

子集中的元素之间可能两两相容，称这样的子集为原集合的相容类(tolerance class)。

最大相容类
术语名称	最大相容类
英语名称	maximal tolerance class

相容类的子集都是相容类，对最大的相容类，也就是添加任意元素后都不再是相容类的集合，称为原集合的最大相容类(maximal tolerance class)。

性质

• 组合关系
  • 相容关系是自反且对称的二元关系，
  • 相容关系不要求传递相关性质，
• 表示
  • 相容关系的关系矩阵是对称矩阵，且主对角线元素全为 1 。
  • 相容关系的关系图中，每个顶点都有自环，且每条有向边都有反向边（或者说都是双向边）。
• 和覆盖的关系
  • 相容关系将集合分为多个相容类，构成集合的一个覆盖。最大相容类对应的覆盖是唯一的。
  • 从覆盖构造相容关系较复杂，是一对多的，可以诱导出多个相容关系，且最大相容类对应的覆盖可能和原来不同。
• 关系简单运算相关性质
  • 相容关系的交仍是相容关系。
  • 相容关系的并不一定是相容关系。
  • 相容关系的复合不一定是相容关系。
• 参与特殊类型关系
  • 等价关系都是相容关系。
  • 相容关系的传递闭包是等价关系。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全