混合基数记数法
| 混合基数记数法 | |
|---|---|
| 术语名称 | 混合基数记数法 |
| 英语名称 | |
| 别名 | mixed-base numeral system, 混合进制, 变进制 |
混合基数记数法(mixed-radix numeral system)指一种位值制记数法，其类似进位制记数法，但不是所有位上的位权都是某个数的幂（[math]\displaystyle{ 1,r,r^2,r^3,\cdots }[/math]），而是每两位间有着不同的倍数（即位权为 [math]\displaystyle{ 1,a,ab,abc,\cdots }[/math]）。简称混合进制。
混合进制也可以使用类似平衡进位制记数法和双射进位制记数法的符号规则，但默认规则对应于最常见的普通进位制记数法。
混合进制中每一位与其更高一位的位权之比也叫做基数(radix, base)，因此叫做混合基数(mixed-radix)。
由于混合进制本身使用和转换都比较复杂，一般出现在一些习惯的单位用法上，如时间单位的“星期-日-时-分-秒-毫秒-微秒”就是一个基数从低到高依次为 1000 、 1000 、 60 、 60 、 24 、 7 的混合进制体系。当我们说“ X 日 X 时 X 分 X 秒”时，使用的就是混合进制。类似地，当我们说“第 X 周星期 X 第 X 小时”这种序号时，使用的就是双射混合进制。
混合进制一般没有专有的名称，有一些记数法中存在两级或多级的进位制，也就是一个基数较大的进制中每个数位上的数都用另一个基数较小的进制表示。比如大进制是 [math]\displaystyle{ r }[/math] 进制，小进制是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 进制，其位权就有 [math]\displaystyle{ 1,a,r,ar,r^2,ar^2,r^3,\cdots }[/math] 规律，可视为混合进制，称为 [math]\displaystyle{ r }[/math] 进制- [math]\displaystyle{ a }[/math] 进制混合进制（[math]\displaystyle{ r }[/math]-ary-[math]\displaystyle{ a }[/math]-ary），但也有时直接认为是 [math]\displaystyle{ r }[/math] 进制。如算盘上的五进制-十进制混合进制，见二五混合进制；南北美洲及格陵兰土著语言中也使用五进制-二十进制混合进制（quinary-vigesimal）。
定义
关于记数法
在位值制记数法中，若存在自然数 [math]\displaystyle{ a, b, c, \cdots }[/math] ，使得每一个数位上的位权为 [math]\displaystyle{ 1,a,ab,abc,\cdots }[/math] ，且每一个数位上的数字都只使用对应不超过系数的符号，则称这一类记数法为混合基数记数法(mixed-radix notation)。其中自然数 [math]\displaystyle{ a, b, c, \cdots }[/math] 称为位权为 [math]\displaystyle{ 1,a,ab,\cdots }[/math] 的位上的基数(radix, base)。混合基数记数法可以是标准的、平衡的或双射的。
关于数
对自然数 [math]\displaystyle{ r_1,r_2,r_3,\cdots }[/math] ，对其中每一位，集合 [math]\displaystyle{ D_{r_i} = \{0,1,2,\cdots,r_i-1\} }[/math] 是一个含有 [math]\displaystyle{ r_i }[/math] 个元素的符号集，记这些集合上按顺序笛卡尔积 [math]\displaystyle{ N = \cdots \times D_{r_3} \times D_{r_2} \times D_{r_1} = \{d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0 \mid n\gt =0 \land d_i \in D_{r_i} \} }[/math] ，（若为标准的，）通过等价关系 [math]\displaystyle{ d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0 \sim 0 d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0 }[/math] 定义的商集 [math]\displaystyle{ N/\sim }[/math] 与自然数集 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] 关于短先字典序序同构。
记号
使用混合进制的场合多数是单位体系，可以直接使用单位形式书写。
对抽象的混合进制，可以使用十进制写，并在每一位上下标这一位的基数（即这一位进到上一位的位权比），比如 [math]\displaystyle{ 4_\infty 3_{7} 12_{24} 30_{60} 45_{60} }[/math] 。
| 记数系统 | |||
|---|---|---|---|
| 位值制记数法 | 进位制记数法/标准位值制记数法（进制） | 二进制、八进制、十进制、十六进制、…… | |
| 非标准位值制记数法 | 带符号进位制记数法/ 平衡记数法（平衡进制） |
平衡三进制、…… | |
| 双射记数法（双射进制） | 一进制、双射十进制、双射二十六进制、…… | ||
| 位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制） |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、…… | ||
| [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、…… | |||
| [math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、…… | |||
| 位权不是幂（混合进制） | 二五混合进制、阶乘进制、…… | ||
| 其他 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-进数 | ||
| 质数记数法、…… | |||
| 符值制记数法 | 罗马记数法、希腊记数法、…… | ||