逻辑联结词

逻辑联结词
术语名称	逻辑联结词
英语名称	logical connective
别名	逻辑连接词, 逻辑运算符, logical operator, sentential connective, sentential operator, propositional operator

逻辑联结词(logical connective)指将简单命题组合成复合命题的词语，也称逻辑运算符。 在经典逻辑中，逻辑联结词是真值函数，即复合命题的真值完全由其组成部分的真值决定。

含有逻辑联结词的命题称为复合命题，不含的称为原子命题。

定义

在形式逻辑中，逻辑联结词是通过真值表定义的符号，用于从简单命题构造复杂命题。 每个逻辑联结词对应一个特定的真值函数，确定如何从子命题的真值得出复合命题的真值。

注：逻辑联结词与自然语言中的连接词有关但不完全相同，前者有精确的形式定义，而后者可能有歧义和语境依赖性。

常用逻辑联结词

常用的逻辑连接词包括：

• 否定词
• 合取词
• 析取词
• 蕴含词
• 等价词

在省略括号时，一般按以上顺序运算优先级从高到低。

全体逻辑联结词及其分类

按元数分类

逻辑联结词可以按其操作的命题数量分类，命题数量称为其元数，命题数量为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的联结词称为一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元逻辑联结词或简称 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元联结词。

• 零元联结词：即真值常量，包括恒真和恒假。
• 一元联结词：操作一个命题，如否定。
• 二元联结词：操作两个命题，如合取、析取等。

按功能分类

• 基本联结词：指否定、合取、析取。
• 导出联结词：可以通过基本联结词定义的逻辑联结词。指蕴含、等价，也有时包含其他逻辑联结词。
• 常用联结词：人为规定的经常使用的联结词。包含否定、合取、析取、蕴含、等价五个。
• 非经典联结词：指不属于经典逻辑的联结词。。

逻辑联结词的数量

任何从任意个真值得到一个真值的对应都可以视为一个逻辑联结词，因此逻辑联结词不仅有前文所述几个，可以通过真值表技术分析全部可能的联结词。

• 零元联结词： [math]\displaystyle{ 2^{2^0} = 2 }[/math] 种，称为恒真、恒假。
• 一元联结词： [math]\displaystyle{ 2^{2^1} = 4 }[/math] 种，分别为恒真、恒假、恒等和否定。其中只有否定词是常用的一元逻辑联结词。
• 二元联结词： [math]\displaystyle{ 2^{2^2} = 16 }[/math] 种。其中只有合取词、析取词、蕴含词和等价词是常用的二元逻辑联结词。
• 以此类推，对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元的逻辑联结词，有 [math]\displaystyle{ 2^{2^n} }[/math] 种不同的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元逻辑联结词。

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
			T								F
名称			真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]								假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制编号			0								1
编号			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制编号			00				01				10				11
编号			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
		F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
		F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取 异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取 且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价 当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴涵 推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取 或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制编号			0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
编号			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

完备集

主条目：函数完备性（逻辑联结词）

对逻辑联结词的集合，若可以表达所有可能的真值函数，称其函数完备(functionally complete)。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

琐事

命名

英语 connective 一词本身是一个语法概念，指将其他语法成分连接在一起的单词或短语，不仅包括连词，还包括表达关联、承上启下、过渡用的成分。 这个概念在语言逻辑学分支上被用来指将成分完整的句子（指命题）连接成复合句的成分。 在这个语境下，复合句可以找到一个主要联结词，其连接着一个及以上的直接子句。

在这个意义下，联结词被分为“真值函数联结词”（truth-functional connective）与“非真值函数联结词”（non-truth-functional connective）， 指以该联结词连接成的复合句，其真值是否由其直接子句的真值组合直接决定。 “真值函数联结词”就是数理逻辑所说的“逻辑联结词”， 而“非真值函数联结词”则比如“因为……所以……”、“自从……，……”、“张三说……”这些，既符合用子句构成复合句的定义， 又显然不能凭子句的真假完全判断复合句的真假。