等化子、余等化子

等化子
术语名称	等化子
英语名称	equalizer
别名	equaliser

等化
术语名称	等化
英语名称	equalize
别名	equalise

余等化子
术语名称	余等化子
英语名称	coequalizer
别名	coequaliser

余等化
术语名称	余等化
英语名称	coequalize
别名	coequalise

等化子(equalizer)指范畴中的某个态射，可以在复合到两个不同态射前，并使之相等。其对偶复合到两个不同态射后，称为余等化子(coequalizer)。

定义

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 及其中对象 [math]\displaystyle{ X, Y }[/math] 、态射 [math]\displaystyle{ f,g: X\to Y }[/math] ，其构成的图 [math]\displaystyle{ X \underset f{\overset g\rightrightarrows} Y }[/math] 的极限称为等化子(equalizer)，余极限称为余等化子(coequalizer)。

等化子

由于有 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的态射，只要有到 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的态射就唯一确定了到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的态射，也就唯一确定了一个锥，因此这个极限就是到对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的锥范畴中的终对象。

锥范畴中的对象是使得上图中 [math]\displaystyle{ A \to X \to Y }[/math] 的“正方形”可交换，即 [math]\displaystyle{ f\circ a = g\circ a }[/math] 的全部 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 。 此时称任意一个 [math]\displaystyle{ a }[/math] 都等化(equalize)态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g }[/math] 。

这些 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 全部构成一个锥范畴，其中的终对象（极限）就是等化子。

余等化子

由于有 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的态射，只要有从 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的态射就唯一确定了从 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的态射，也就唯一确定了一个余锥，因此这个余极限就是从对象 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的余锥范畴中的始对象。

使得上图中 [math]\displaystyle{ X \to Y \to A }[/math] 的“正方形”可交换，即 [math]\displaystyle{ a\circ f = a\circ g }[/math] 的全部 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 。 此时称任意一个 [math]\displaystyle{ a }[/math] 都余等化(coequalize)态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g }[/math] 。

这些 [math]\displaystyle{ (A, a) }[/math] 全部构成一个余锥范畴，其中的始对象（余极限）就是余等化子。

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核