始对象、终对象

始对象
术语名称	始对象
英语名称	initial object

终对象
术语名称	终对象
英语名称	terminal object
别名	final object

终端对象
术语名称	终端对象
英语名称	terminal object

始对象(initial object)指一个对象，到其他对象的态射集总是有且仅有一个元素，或者说有且仅有唯一一个态射。 终对象(terminal object)指一个对象，来自其他对象的态射集总是有且仅有一个元素，或者说有且仅有唯一一个态射。

定义

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 及其中对象 [math]\displaystyle{ I }[/math] ，若满足 [math]\displaystyle{ \forall A\in \mathrm{Obj}(\mathscr{C}) }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C}(I, A) }[/math] 是单点集，则称 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是始对象(initial object, [math]\displaystyle{ I }[/math] is initial)。

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 及其中对象 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，若满足 [math]\displaystyle{ \forall A\in \mathrm{Obj}(\mathscr{C}) }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C}(A, T) }[/math] 是单点集，则称 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是终对象(terminal object, [math]\displaystyle{ T }[/math] is terminal)。

有的人将始对象和终对象统称终端对象(terminal object)，此时终对象不用 terminal 而用 final 。

说明

始对象是在这个范畴中，一个对象指向所有其他对象，都能找到态射，且态射可以被对象唯一确定。

终对象是在这个范畴中，一个对象指自所有其他对象，都能找到态射，且态射可以被对象唯一确定。

性质

• 始对象、终对象互为对偶。
• 范畴中可以不存在始（终）对象，可以存在任意多个始（终）对象。
• 若范畴中存在多个始（终）对象，则存在同构态射，使这些始（终）对象同构，或者说始（终）对象在同构意义下唯一。进一步地，每两个始（终）对象间的同构态射也就是这个唯一的态射：
  • 对任意一个始（终）对象，由于任意相关态射集合都是单点集，其自同态集也是单点集，又因为必须包含一个单位态射，则始（终）对象的自同态集仅有单位态射，单位态射是同构；
  • 对任意两个始（终）对象，它们之间的态射集合仅有一个元素，合成后是其中一个对象上的自同态，只能是单位态射，因此这两个态射都是同构。且这个态射本身是唯一的。

举例

在集合范畴 [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] 中：

• 始对象是空集，因为空集到任意集合都仅有唯一的空映射。
• 终对象是单点集，因为从任意集合到单点集都仅有唯一的常值映射。

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核