上确界、下确界

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上确界
术语名称 上确界
英语名称 supremum
别名 紧上界, tight upper bound, least upper bound
下确界
术语名称 下确界
英语名称 infimum
别名 紧下界, tight lower bound, greatest lower bound

上确界(supremum)和下确界(infimum)指在预序集中，对一个子集，其全部上界、下界中最贴近子集的任意元素。 也就是有预序的集合中，给出大于等于或小于等于给定小集合的全部元素，选择其中最小或最大的元素。

上确界与下确界互为对偶。

定义

对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ：

  • 若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (s \preceq p) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个上界；对全体上界 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ q \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ q \preceq p }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ q }[/math] 是子集的一个上确界(supreme)；
  • 若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (p \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个下界；对全体下界 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ q \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ p \preceq q }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ q }[/math] 是子集的一个下确界(infimum)。

若其中 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 是一个偏序，若子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 有上确界则唯一，记作 [math]\displaystyle{ \sup S }[/math] ；若有下确界则也唯一，记作 [math]\displaystyle{ \inf S }[/math] 。

性质

  • 基本特征
    • 上确界是上界集合中的最小元，下确界是下界集合中的最大元。
    • 上确界和下确界都不一定存在。在预序集中，如果存在也不一定唯一。在偏序集中，如果存在就一定唯一。
    • 上确界和下确界在预序集中、在上界下界集合中，而不要求在子集中。
  • 与极值元素的关系
    • 若子集有最大元，则它是该子集的上确界；若子集有最小元，则它是该子集的下确界。
  • 空集与包含关系
    • 空集的上确界是预序集中的最小元（如果存在）；空集的下确界是预序集中的最大元（如果存在）。
    • 若两个子集间存在包含关系， [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \sup A \preceq \sup B, \inf B \preceq \inf A }[/math] （如果存在）
  • 运算性质
    • 对任意子集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，如果相应集合的上确界和下确界存在，则 [math]\displaystyle{ \sup(A \cup B) = \sup \{\sup A, \sup B\}, \inf(A \cup B) = \inf\{\inf A, \inf B\} }[/math]


二元关系复合类型
名称 自反、反自反 对称、反对称 传递 其他
相容关系 自反 对称 - -
预序 自反 - 传递 -
等价关系 自反 对称 传递 -
方向 自反 - 传递 有上/下界
偏序 自反 反对称 传递 -
半格 自反 反对称 传递 有上/下确界
弱序/全序划分 自反 - 传递 完全
全序 自反 反对称 传递 完全
良序 自反 反对称 传递 完全、良基
不对称 反自反 反对称 - -
拟序/严格偏序 反自反 反对称 传递 -
严格弱序/严格全序划分 反自反 反对称 传递 不可比关系传递
严格全序 反自反 反对称 传递 完全
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