反自反关系

反自反关系(irreflexive relation)指某集合上的一个二元关系中，集合中所有元素都与其自身不具有关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \in X (a \lnot R a) }[/math]，称：

关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反自反的(irreflexive / anti-reflexive)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有反自反性(irreflexivity / anti-reflexivity)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反自反关系(irreflexive relation / anti-reflexive relation)。

等价定义：

与恒等关系不相交的关系，即 [math]\displaystyle{ I_X \cap R = \varnothing }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ I_X }[/math] 是 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的恒等关系。

表示
- 一个关系是反自反的当且仅当关系矩阵对角线上的元素都是 0 。
- 一个关系是反自反的当且仅当关系图每个顶点都没有自环。
关系简单运算相关性质
- 反自反关系的交仍是反自反关系。
- 反自反关系的并仍是反自反关系。
- 反自反关系的复合、幂不一定是反自反关系。
- 反自反关系的逆关系仍是反自反关系。
- 反自反关系的补关系是自反关系。
关系闭包运算相关性质
- 反自反关系的自反闭包是其与恒等关系这两个不交集合的并。
- 反自反关系的传递闭包不一定是反自反关系。
- 反自反关系的对称闭包不一定是反自反关系。
参与特殊类型关系
- 所有严格偏序都是反自反关系。
- 自反关系和反自反关系是冲突的概念，不能同时成立在一个关系上，但是空集上的关系可以。
- 若一个关系同时是反自反的和传递的，则它是反对称的。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]