对称关系

对称关系
术语名称	对称关系
英语名称	symmetric relation

对称性
术语名称	对称性
英语名称	symmetry

对称关系
术语名称	对称关系
英语名称	symmetric relation

对称关系(symmetric relation)指集合上的一个二元关系中，任意两个元素若有关系，则交换顺序后仍然有关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \in X \forall b \in X (a R b \leftrightarrow b R a) }[/math] ，称：

关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是对称的(symmetric)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有对称性(symmetry)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是对称关系(symmetric relation)。

等价定义：

与自身逆关系相等的关系，即 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{T} \subseteq R }[/math] 。

性质

表示
- 一个关系是对称关系当且仅当关系矩阵是对称矩阵。
- 一个关系是对称关系当且仅当关系图中所有边都是双向的。
关系简单运算相关性质
- 对称关系的交仍是对称关系
- 对称关系的并仍是对称关系
- 对称关系的复合不一定是对称关系（两个对称关系不同，复合步骤本身不具有对称性，结果不一定对称）
- 对称关系的幂仍是对称关系
- 对称关系的补关系仍是对称关系
关系闭包运算相关性质
- 对称关系的自反闭包仍是对称关系
- 对称关系的对称闭包是其自身
- 对称关系的传递闭包仍是对称关系
参与特殊类型关系
- 所有等价关系都是对称关系
- 对称关系与反对称关系不互相排斥（同时是对称的且反对称的当且仅当是恒等关系的子关系）
- 对称关系与不对称关系不互相排斥（同时是对称的且不对称的当且仅当是空关系）
- 若一个关系既是对称又是传递的，则它不一定是自反的（可从 [math]\displaystyle{ aRb }[/math] 推出 [math]\displaystyle{ aRa }[/math] ，但这并不是任意元素，原集合中可能存在部分元素与任意元素均没有关系，无法被 [math]\displaystyle{ aRb }[/math] 选择）

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

参考资料

Symmetric relation - Wikipedia