质数阶乘进制
| 质数阶乘进制 | |
|---|---|
| 术语名称 | 质数阶乘进制 |
| 英语名称 | primorial numeral system |
| 别名 | primoradic |
质数阶乘进制(primorial numeral system, primoradic)指位权为质数阶乘的混合基数记数法。其基数依次为质数，位权由低到高为 [math]\displaystyle{ 1,2\#,3\#,5\#,7\#,\cdots }[/math] 。
定义
对混合基数记数法，若每一位的基数为质数 [math]\displaystyle{ 2,3,5,7,\cdots }[/math] ，基数为 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的数位上符号为 [math]\displaystyle{ 0,1,\cdots,p-1 }[/math] ，位权为 [math]\displaystyle{ 1,2\#,3\#,5\#,\cdots }[/math] （即 [math]\displaystyle{ 1,p_1\#,p_2\#,p_3\#,\cdots }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ p_i }[/math] 表示第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 个质数），则称其为质数阶乘进制(primorial numeral system, primoradic)。
表示
质数阶乘很少实际使用，因此没有约定俗成的通用记号。但参考阶乘进制，也可以使用加进制下标的形式，如 [math]\displaystyle{ 21200_{\#} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (21200)_{\#} }[/math] 。由于质数阶乘进制下，足够高位的数字可能超过 9 ，也使用冒号分隔每一位数，以保证足够大的数可以写成十进制并避免混淆，如 [math]\displaystyle{ 2{:}1{:}2{:}0{:}0_{\#} }[/math] 。
数值及表示
位权
质数阶乘进制中，基数由低到高依次为质数 [math]\displaystyle{ 2,3,5,7,\cdots }[/math] ，其位权为质数阶乘，由低到高依次为 [math]\displaystyle{ 1,2\#=2,3\#=6,5\#=30,7\#=210,\cdots }[/math] 。
一些常见数值表示
| 整数（十进制） | 整数（质数阶乘进制） |
|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ 1_\# }[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle{ 1{:}0_\# }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ 1{:}1_\# }[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle{ 2{:}0_\# }[/math] |
| 5 | [math]\displaystyle{ 2{:}1_\# }[/math] |
| 6 | [math]\displaystyle{ 1{:}0{:}0_\# }[/math] |
| 7 | [math]\displaystyle{ 1{:}0{:}1_\# }[/math] |
| 8 | [math]\displaystyle{ 1{:}1{:}0_\# }[/math] |
| 9 | [math]\displaystyle{ 1{:}1{:}1_\# }[/math] |
| 10 | [math]\displaystyle{ 1{:}2{:}0_\# }[/math] |
| 11 | [math]\displaystyle{ 1{:}2{:}1_\# }[/math] |
| 12 | [math]\displaystyle{ 2{:}0{:}0_\# }[/math] |
正整数的质数阶乘进制表示见 OEIS-A049345 。
| 记数系统 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 位值制 记数法 |
进位制记数法/标准位值制记数法（进制） | 二进制、八进制、十进制、十六进制、…… | ||
| 非标准 位值制 记数法 |
符号数字 进位制记数法 |
平衡进位制记数法 （平衡进制） |
平衡三进制、…… | |
| 双射进位制记数法 （双射进制） |
双射十进制、双射二十六进制、…… | |||
| 位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制） |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、…… | |||
| [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、…… | ||||
| [math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、…… | ||||
| 位权不是幂 | 存在基数 （混合进制） |
二五混合进制、阶乘进制、…… | ||
| 广义位值制记数法 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-进数 | |||
| 质数记数法、…… | ||||
| 符值制记数法 | （双射）一进制、罗马记数法、希腊记数法、…… | |||