反对称关系

反对称关系
术语名称	反对称关系
英语名称	antisymmetric relation

反对称性
术语名称	反对称性
英语名称	antisymmetry

反对称的
术语名称	反对称的
英语名称	antisymmetric

反对称关系(antisymmetric relation)指集合上的一个二元关系中，任意两个不同元素若有关系，则交换顺序后一定无关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a R b \land b R a \rightarrow a = b) }[/math]，称：

关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反对称的(antisymmetric)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有反对称性(antisymmetry)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反对称关系(antisymmetric relation)。

等价定义：

与自身逆关系在两个元素相等的情况以外不相交的关系，即 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{T} \cup R \subseteq I_X }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ I_X }[/math] 是 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的恒等关系。

性质

表示
- 一个关系是反对称的当且仅当关系矩阵对角线外的对称位置不同时是 1 ，即对任意 [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] ，不能同时有 [math]\displaystyle{ r_{ij}=1 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ r_{ji}=1 }[/math] 。
- 一个关系是反对称的当且仅当关系图任意两个不同顶点间都不存在双向边。
关系简单运算相关性质
- 反对称关系的交仍是反对称关系。
- 反对称关系的并不一定是反对称关系。
- 反对称关系的复合和幂不一定是反对称关系。
- 反对称关系的逆关系仍是反对称关系。
- 反对称关系的补不一定是对称关系，也不一定是反对称关系。
关系闭包运算相关性质
- 反对称关系的自反闭包仍是反对称关系。
- 反对称关系的传递闭包不一定是反对称关系。
- 反对称关系的对称闭包是自身与逆关系的并关系，相当于加上逆关系差掉恒等关系后剩下的部分。
参与特殊类型关系
- 所有偏序关系都是反对称关系。
- 反对称关系与对称关系不互相排斥（同时是对称的且反对称的当且仅当是恒等关系的子关系）。
- 反对称关系同时是反自反关系的关系是不对称关系。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

参考资料

Antisymmetric Relation - Wikipedia