合成列

合成列
术语名称	合成列
英语名称	composition series
别名	合成群列

合成列(comosition series)指群的次正规列中全部因子都是单群。

定义

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，有次正规列 [math]\displaystyle{ G = G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_n }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ (\forall i)(G_{i+1} \rhd G_i) }[/math] 。若对应的商群 [math]\displaystyle{ G_0/G_1,G_1/G_2,\dots,G_{n-1}/G{n} }[/math] 都是单群，则称为合成列(composition series)。

性质

Schreier 定理。如果因子不是单群，一定可以插入子群到两个集合之间，使每个环节都是单群。因此有限群的合成列一定存在。

Jordan–Hölder 定理。合成列作为次正规列等价，或者说长度固定，因子间忽略排列顺序在同构意义下唯一。多重集。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群