Sylow 第三定理
| 西罗第三定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 西罗第三定理 |
| 英语名称 | third Sylow theorem |
西罗第三定理(third Sylow theorem)是关于有限群中对任意质因子的恰整除幂阶子群数目的定理。
定义
对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，存在质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ |G| = mp^r, \operatorname{gcd}(m,p)=1 }[/math] （即 [math]\displaystyle{ p^r \Vert |G| }[/math]），则其阶数为 [math]\displaystyle{ p^r }[/math] 的子群是群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的 Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群，其数目 [math]\displaystyle{ n_p }[/math] 满足：
- [math]\displaystyle{ n_p \mid m }[/math]
- [math]\displaystyle{ n_p \equiv 1 \pmod p }[/math]
推论
对阶为半质数的 [math]\displaystyle{ pq }[/math]-群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ p \lt q }[/math] 且 [math]\displaystyle{ q\not\equiv 1 \pmod p }[/math] 则必为循环群。
对阶为奇质数的两倍 [math]\displaystyle{ 2p }[/math] 的非交换群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，必同构于 [math]\displaystyle{ 2p }[/math] 阶的二面体群。
| 有限群理论 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 子群存在性 | ||||||
| 特殊阶数群 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-群 | [math]\displaystyle{ pq }[/math]-群 | ||||
| 特殊阶数子群 | 类方程 | Cauchy 定理 | Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群 | Sylow 第二定理 | Sylow 第三定理 | |
| 由单群合成 | ||||||
| 逐层构造 | 次正规列、正规列、因子 | 单群、合成列 | ||||
| Zassenhaus 引理 | Schreier 细化定理 | Jordan–Hölder 定理 | ||||
| 组合方式 | 群正合列 | 群直积（群内直积）、群半直积 | 群短正合列 | 群扩张 | ||
| 交换的对称性 | ||||||
| 交换性成分 | 换位子、导群 | 导列 | 可解群 | |||