Sylow 第二定理

西罗第二定理
术语名称	西罗第二定理
英语名称	second Sylow theorem

西罗第二定理(second Sylow theorem)是关于有限群中对任意质因子的恰整除幂阶子群的定理。说明了这些子群间都是共轭的。

定理

对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，任意两个 Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群 [math]\displaystyle{ P, P' }[/math] 共轭，即存在 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ P' = gPg^{-1} }[/math] 。

等价定理

对有限群 [math]\displaystyle{ G/math\gt 及质数 \lt math\gt p }[/math] ，有 Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的任意是 [math]\displaystyle{ p }[/math]-群的子群（ [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群） [math]\displaystyle{ H }[/math] 都一定是 [math]\displaystyle{ P }[/math] 的某个共轭的子集，即 [math]\displaystyle{ (\exists g\in G)(H\subseteq gPg^{-1}) }[/math] 。

推论

对有限群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其任意 [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群都被包含在一个 Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群中，且在这个群中是一个正规子群。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群