群内直积

内直积
术语名称	内直积
英语名称	inner direct product

群内直积(inner product)指群内部两个子群的群直积与群本身以元素相乘方式最简单地同构。此时两个群一定互为可置换补群且是正规子群。

定义

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及子群 [math]\displaystyle{ H, K \leq G }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ H \times K \cong G }[/math] ，其同构映射为 [math]\displaystyle{ (h,k) \mapsto hk }[/math] ，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是群 [math]\displaystyle{ H, K }[/math] 的内直积(inner product)。

等价定义

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及其两个正规子群 [math]\displaystyle{ H, K \unlhd G }[/math] ，两个群是可置换补群（即 [math]\displaystyle{ H \cap K = \{e\} }[/math] 且 [math]\displaystyle{ HK=G }[/math] ），则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是群 [math]\displaystyle{ H, K }[/math] 的内直积(inner product)。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群