对换

对换
术语名称	对换
英语名称	transposition

对换(transposition)指排列只交换两个不同元素，是一个 2-轮换。

定义

排列 [math]\displaystyle{ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&j&\cdots&n\\1&2&\cdots&j&\cdots&i&\cdots&n\end{pmatrix} }[/math] 中满足 [math]\displaystyle{ \sigma(i)= j, \sigma(j)= i, (\forall k\neq i,j)(\sigma(k) = k) }[/math] ，称为对换(transposition)。

性质

轮换总是能分解为一系列对换的复合。 进一步地，排列也总是能分解为一系列对换的复合，其数目奇偶性就是排列的奇偶性。 也说对换生成对称群。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群