序范畴
| 序范畴 | |
|---|---|
| 术语名称 | 序范畴 |
| 英语名称 | order category |
请注意，这个条目所介绍的术语没有标准称呼。仅仅是为了便于描述建立条目取了一个名字。
定义
若有一个预序集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 上的有预序关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，这个关系是自反且传递的，则内部的全部元素构成的集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 作为对象类，按元素是否有关系建立也可以建立范畴。有人将其称为序范畴(order category)。其中，
- 对象类 [math]\displaystyle{ S }[/math] ；
- 任意两个对象 [math]\displaystyle{ a,b }[/math] ，对象间的态射集合 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (a, b) = \begin{cases} \{(a,b)\} &, a\sim b \\ \varnothing &, a\not\sim b \end{cases} }[/math] 是单点集或空集；
- 合成法则是若为 [math]\displaystyle{ \{(a,b)\},\{(b,c)\} }[/math] 则得到 [math]\displaystyle{ \{(a,c)\} }[/math] ，若不具有此形式或一方为空则也得到空集。可证明其良定义（传递性保证），且满足结合性，单位态射是元素和自身的有序对（自反性）。
等价定义
对一个小范畴，若：
- 对对象集中任意两个对象，其态射集只能有至多一个元素。
- 对任意同构态射，其前后对象为同一对象。
则态射在范畴的对象上构成一个预序。
注：也有人将这样定义出来的关系作为预序的定义。
| 预序集 [math]\displaystyle{ (P,\preceq) }[/math] 上的序范畴 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 对应数学对象 | |||||
| 对象 | 元素 | [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}() }[/math] | [math]\displaystyle{ P }[/math] | 小范畴？ | 是 |
| 态射 | 有序对 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(A,B) }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{cases} \{(a,b)\} &, a \preceq b \\ \varnothing &, \lnot (a \preceq b)\end{cases} }[/math] | 局部小范畴？ | 是，骨架范畴 |
| 自同态 [math]\displaystyle{ \mathrm{End}(A) }[/math] | 自反性保证 [math]\displaystyle{ \{(a,a)\} }[/math] | 复合法则 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] | 传递性保证 [math]\displaystyle{ ((a,b), (b,c)) \mapsto (a,c) }[/math] | 单位态射 [math]\displaystyle{ i_A }[/math] | 自反性保证 [math]\displaystyle{ (a,a) }[/math] |
| 态射类型 | |||||
| 单态射 | 任意态射 | 满态射 | 任意态射 | 双态射 | 任意态射 |
| 分裂单态射 | - | 分裂满态射 | - | 同构 [math]\displaystyle{ \mathrm{Iso}(A,B) }[/math] | - |
| 泛在结构 | |||||
| 始对象 态射 |
最小元 [math]\displaystyle{ \operatorname{min}P }[/math] （若存在） |
终对象 态射 |
最大元 [math]\displaystyle{ \operatorname{max}P }[/math] （若存在） |
是零对象？ | 仅 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为单元素集时 |
| 积 [math]\displaystyle{ \times }[/math] 积态射 |
有任意积 下确界 [math]\displaystyle{ \operatorname{sup}\{a,b\} }[/math] |
余积 [math]\displaystyle{ \coprod }[/math] 余积态射 |
有任意余积 上确界 [math]\displaystyle{ \operatorname{inf}\{a,b\} }[/math] |
||
| 极限 [math]\displaystyle{ \times }[/math] | 有任意极限 下确界 [math]\displaystyle{ \operatorname{sup}\{a,b\} }[/math] |
余极限 [math]\displaystyle{ \coprod }[/math] | 有任意余极限 上确界 [math]\displaystyle{ \operatorname{inf}\{a,b\} }[/math] |
||
| 范畴、态射 | ||
|---|---|---|
| 基本概念 | 范畴 | 态射、交换图 |
| 态射 | 单态射、满态射 | 双态射 |
| 分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面） | 同构 | |
| 泛在结构、泛性质 | ||
| 终端对象 | 始对象、终对象 | 零对象、零态射 |
| 泛在结构 | 切片范畴、余切片范畴 | - |
| 楔、余楔·楔范畴、余楔范畴 | 积、余积 | |
| 锥、余锥·锥范畴、余锥范畴 | 极限、余极限 | |
| - | 等化子、余等化子 | |
| - | 核、余核 | |