笛卡尔积

笛卡尔积
术语名称	笛卡尔积
英语名称	Cartesian product
别名	直积

笛卡尔积(Cartesian product)是对两个或多个集合，由所有元素依次属于这些集合的元组构成的新的集合。

定义

笛卡尔积
运算名称	笛卡尔积
运算符号	[math]\displaystyle{ \times }[/math]
Latex	\times
运算对象	集合
运算元数	≥0
运算结果	集合

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，由所有第一元素属于集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 且第二元素属于集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的有序对所构成的集合，叫做集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的笛卡尔积(Cartesian product)，也称为直积(direct product)，记作 [math]\displaystyle{ A \times B }[/math] 。 即： [math]\displaystyle{ A \times B = \left\{ (x,y) \mid x \in A \land y \in B \right\} }[/math]。

×
字符	×
Unicode码位	U+00D7 Multiplication sign, Z Notation Cartesian Product
Latex命令序列	\times

性质

• 不满足结合律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，通常有 [math]\displaystyle{ (A \times B) \times C }[/math] 与 [math]\displaystyle{ A \times (B \times C) }[/math] 通常不是同一个集合。这是由于两侧的元素分别为 [math]\displaystyle{ ((a, b), c) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (a, (b, c)) }[/math] 。
  • 仅在有一个是空集时，等号两侧都是空集，此时才能相等。
• 不满足交换律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，通常有 [math]\displaystyle{ A \times B \neq B \times A }[/math] 。
  • 仅当 [math]\displaystyle{ A = B }[/math] ，即两侧是同一集合时相等。
• 分配律：
  • 笛卡尔积对并集运算满足分配律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math]、 [math]\displaystyle{ C }[/math] ， [math]\displaystyle{ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) }[/math] 。
  • 与交集的关系：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math]、 [math]\displaystyle{ C }[/math]、 [math]\displaystyle{ D }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times B) \cap (C \times D) }[/math]。
    • 笛卡尔积对交集也满足分配律： [math]\displaystyle{ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) }[/math]
  • 对差集满足分配律： [math]\displaystyle{ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C) }[/math] 。
• 在假设了全集时，对补集：[math]\displaystyle{ (A\times B)^\complement =\left(A^\complement \times B^\complement \right) \cup \left(A^\complement \times B \right) \cup \left( A \times B^\complement \right) }[/math]。
• 特殊值：
  • [math]\displaystyle{ A \times \varnothing = \varnothing }[/math]
• 包含关系：
  • [math]\displaystyle{ A \times B \subseteq C \times D \Leftrightarrow (A \subseteq C \land B \subseteq D) \lor A = \varnothing \lor B = \varnothing }[/math]

多元笛卡尔积

对集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots , A_n }[/math] ，由所有元素依次属于这些集合的元组所构成的集合，叫做这些集合的笛卡尔积(Cartesian product)，记作 [math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n }[/math]。即 [math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \left\{ (x_1,x_2,\dots,x_n) \mid x_1 \in A_1 \land x_2 \in A_2 \land\dots\land x_n\in A_n\right\} }[/math]。

按相同方式可以定义， 1 个集合的笛卡尔积定义为集合自身每个元素对应成 1-元组的 [math]\displaystyle{ \{(x)|x \in A\} }[/math]， 0 个集合的并集定义为只有一个 0-元组的单元素集 [math]\displaystyle{ \{()\} }[/math]。

通常认为多元笛卡尔积是一个多元运算，不是多次二元笛卡尔积的连续运算。 但是在不区分元组嵌套结构，即不区分 [math]\displaystyle{ (1,(2,3)) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ ((1,2),3) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (1,2,3) }[/math] 的情况下，多元笛卡尔积可以被任意结合为多次笛卡尔积，只要运算对象顺序不变就不影响结果。

笛卡尔幂

笛卡尔幂
运算名称	笛卡尔幂
运算符号	[math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
Latex	^
运算对象	集合, 自然数
运算元数	2
运算结果	集合

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，自身的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元笛卡尔积 [math]\displaystyle{ A \times A \times \dots \times A }[/math] 可以简写为 [math]\displaystyle{ A^n }[/math] ，称为集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元([math]\displaystyle{ n }[/math]-ary)笛卡尔幂(Catesian power)。

指标集上的笛卡尔积

对指标集形式的集族 [math]\displaystyle{ A = \{A_i\}_{i\in I} }[/math] ，定义集合 [math]\displaystyle{ \{f : I\to \bigcup_{i\in I} A_i \mid \forall i \in I, f(i) \in A_i \} }[/math] ，叫做集族中全体集合的笛卡尔积(Cartesian product)，记作 [math]\displaystyle{ \prod_{i\in I} A_i = \prod \{A_i\}_{i \in I} }[/math] 。

注：一般来说，有限元笛卡尔积依据一阶逻辑上定义有序对和元组直接定义，映射用二元笛卡尔积定义，指标集用映射定义。所以虽然指标集上的笛卡尔积和有限的是类似概念但不会使用统一的定义。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]