序同构

序同构
术语名称	序同构
英语名称	order isomorphism
别名	序同构映射

序同构(order isomorphism)指两个有序集具有相同的序结构，也指在两个相同结构的有序集间保持序结构的双射。此处有序集上的序关系通常指偏序或更强的关系。序同构建立了有序集之间的结构等价性，是研究序的分类和序型的基础。

定义

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \leq_P) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (Q, \leq_Q) }[/math] 及序嵌入 [math]\displaystyle{ f: P\to Q }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是双射，称为从偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \leq_P) }[/math] 到 [math]\displaystyle{ (Q, \leq_Q) }[/math] 的一个序同构映射，简称序同构(order morphism)。

序同构
关系名称	序同构
关系符号	[math]\displaystyle{ \cong }[/math]
Latex	\cong
关系对象	偏序集
关系元数	2
类型	等价关系

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \leq_P) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (Q, \leq_Q) }[/math] ，若存在一个从 [math]\displaystyle{ P }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的序同构，称偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \leq_P) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (Q, \leq_Q) }[/math] 序同构(are order isomorphic)，或称偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \leq_P) }[/math] 序同构于(is order isomorphic to)偏序集 [math]\displaystyle{ (Q, \leq_Q) }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ P \cong Q }[/math]。

注：在不存在歧义的情况下，也有时将“序同构”简称为“同构”。但注意不带有前缀的同构一般只用于代数系统间。

性质

• 序同构是偏序集间的等价关系
  • 自反性：偏序集到自身的恒等映射是序同构。
  • 对称性：序同构的逆映射也是序同构。
  • 传递性：序同构的复合也仍是序同构。
• 等价类的代表元
  • 偏序集序同构当且仅当具有相同序型，良序集中的序同构当且仅当具有相同序数。
• 序同构保持所有结构性质：
  • 在任意子集中，将极值元素映射到对应的极值元素、将最值元素映射到对应的最值元素。
  • 任意子集的上界、下界的存在性保持不变。
  • 如果序关系是一个半格或格，序同构也同时保持对应的运算。

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全