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半格：修订间差异

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'''交半格'''('''join-semilattice''')指一个[[偏序集]]的有限子集总有[[上确界、下确界|下确界]]。
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也指其由抽象出的，满足[[结合律]]、[[交换律]]、[[幂等律（二元运算）|幂等律]]的代数系统。
也指其由抽象出的，满足[[结合律]]、[[交换律]]、[[幂等律（二元运算）|幂等律]]的[[代数系统]]。


满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也定义了一个偏序，可认为是等价地描述了同一个结构。
满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也定义了一个偏序，可认为是等价地描述了同一个结构。
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=== 序理论定义 ===
=== 序理论定义 ===


对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其下确界，则此时，称 <math>P</math> 是一个'''交半格'''('''join-semilattice''')，其中由 <math>x,y</math> （可以相同）构成的集合的下确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''交'''('''join''')，记作 <math>x \wedge y</math> 。
对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其下确界，则此时，
称 <math>P</math> 是一个'''交半格'''('''meet-semilattice''')，
其中由 <math>x,y</math> （可相同）构成的集合的下确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''交'''('''meet''')，
记作 <math>x \wedge y</math> 。


对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其上确界，则此时，称 <math>P</math> 是一个'''并半格'''('''meet-semilattice''')，其中由 <math>x,y</math> （可以相同）构成的集合的上确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''并'''('''meet''')，记作 <math>x \vee y</math> 。
对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其上确界，则此时，
称 <math>P</math> 是一个'''并半格'''('''join-semilattice''')，
其中由 <math>x,y</math> （可相同）构成的集合的上确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''并'''('''join''')，
记作 <math>x \vee y</math> 。
 
交半格和并半格统称'''半格'''('''semilattice''')。


=== 代数系统定义 ===
=== 代数系统定义 ===
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则构成的代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 称为一个'''半格'''('''semilattice''')。
则构成的代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 称为一个'''半格'''('''semilattice''')。


以上定义的代数系统中，运算 <math>\wedge</math> 称为'''交'''('''join''')，并称代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 为'''交半格'''('''join-semilattice''')；如果使用 <math>\vee</math> ，称为'''并'''('''meet''')，并称代数系统 <math>\langle S, \vee \rangle</math> 为'''并半格'''('''meet-semilattice''')。
以上定义的代数系统中，运算 <math>\wedge</math> 称为'''交'''('''meet''')，并称代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 为'''交半格'''('''meet-semilattice''')；
如果使用 <math>\vee</math> ，称为'''并'''('''join''')，并称代数系统 <math>\langle S, \vee \rangle</math> 为'''并半格'''('''join-semilattice''')。


=== 性质描述 ===
=== 性质描述 ===


* 满足幂等律的交换[[半群]]称为半格。
* 满足幂等律的[[交换半群]]称为半格。
 
=== 两种定义的等价性 ===
 
序理论定义和代数系统定义是等价的：
 
* 序理论到代数
** 在序理论定义的交半格 <math>(P, \leq)</math> 中，定义运算 <math>a \vee b = \sup\{a,b\}</math> ；
** 在序理论定义的并半格 <math>(P, \leq)</math> 中，定义运算 <math>a \wedge b = \inf\{a,b\}</math> ；
** 则这些运算满足结合律、交换律、幂等律的代数结构。
* 从代数到序理论
** 在代数定义的交半格 <math>(S, \vee)</math> 中，定义偏序 <math>a \leq b \Leftrightarrow a \vee b = b</math> ；
** 在代数定义的并半格 <math>(S, \wedge)</math> 中，定义偏序 <math>a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b = a</math> ；
** 这些偏序关系使得代数运算对应偏序中的确界。
 
== 性质 ==
 
* 基本特征
** 交半格：任意两个元素有下确界（交运算 <math>\wedge</math> ）。
** 并半格：任意两个元素有上确界（并运算 <math>\vee</math> ）。
** 半格是交半格和并半格的统称，只要求有上确界和下确界之一。
** 半格是[[有向集]]：交半格是下有向集，并半格是上有向集。
* 与格的关系
** [[格]]是半格的特化，两个运算使其既是交半格也是并半格。
** 半格是格的推广，只要求的一侧的运算关系，去掉了另一个运算的存在性要求。
** 通过添加元素可以将半格完备化为格。
* 运算性质
** 半格的[[子代数]]仍是半格，称为'''子半格'''；
** 半格的[[直积]]仍是半格；
** 半格的[[同态像]]仍是半格；
** 半格可以嵌入到格中。
* 代数性质
** 半格是幂等、交换的[[半群]]。




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2025年10月28日 (二) 10:56的版本

半格
术语名称 半格
英语名称 semilattice
交半格
术语名称 交半格
英语名称 meet-semilattice
别名 lower semilattice
并半格
术语名称 并半格
英语名称 join-semilattice
别名 upper semilattice
交
术语名称 交
英语名称 meet
并
术语名称 并
英语名称 join

交半格(meet-semilattice)指一个偏序集的有限子集总有下确界。 并半格(join-semilattice)指一个偏序集的有限子集总有上确界。 也指其由抽象出的，满足结合律、交换律、幂等律的代数系统。

满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也定义了一个偏序，可认为是等价地描述了同一个结构。

定义

以下两个定义的结构等价。

序理论定义

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其下确界，则此时， 称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个交半格(meet-semilattice)， 其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可相同）构成的集合的下确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的交(meet)， 记作 [math]\displaystyle{ x \wedge y }[/math] 。

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其上确界，则此时， 称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个并半格(join-semilattice)， 其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可相同）构成的集合的上确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的并(join)， 记作 [math]\displaystyle{ x \vee y }[/math] 。

交半格和并半格统称半格(semilattice)。

代数系统定义

对非空集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 及其上一个二元运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] ，若其满足以下公理：

  • 封闭性(closure)：[math]\displaystyle{ (\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S) }[/math] ；
  • 结合性(associativity)：[math]\displaystyle{ (\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)) }[/math] 。
  • 交换性(commutativity)：[math]\displaystyle{ (\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a) }[/math] 。
  • 幂等性(idempotency)：[math]\displaystyle{ (\forall a \in S) (a\wedge a = a) }[/math] 。

则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \wedge \rangle }[/math] 称为一个半格(semilattice)。

以上定义的代数系统中，运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] 称为交(meet)，并称代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \wedge \rangle }[/math] 为交半格(meet-semilattice)； 如果使用 [math]\displaystyle{ \vee }[/math] ，称为并(join)，并称代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \vee \rangle }[/math] 为并半格(join-semilattice)。

性质描述

两种定义的等价性

序理论定义和代数系统定义是等价的：

  • 序理论到代数
    • 在序理论定义的交半格 [math]\displaystyle{ (P, \leq) }[/math] 中，定义运算 [math]\displaystyle{ a \vee b = \sup\{a,b\} }[/math] ；
    • 在序理论定义的并半格 [math]\displaystyle{ (P, \leq) }[/math] 中，定义运算 [math]\displaystyle{ a \wedge b = \inf\{a,b\} }[/math] ；
    • 则这些运算满足结合律、交换律、幂等律的代数结构。
  • 从代数到序理论
    • 在代数定义的交半格 [math]\displaystyle{ (S, \vee) }[/math] 中，定义偏序 [math]\displaystyle{ a \leq b \Leftrightarrow a \vee b = b }[/math] ；
    • 在代数定义的并半格 [math]\displaystyle{ (S, \wedge) }[/math] 中，定义偏序 [math]\displaystyle{ a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b = a }[/math] ；
    • 这些偏序关系使得代数运算对应偏序中的确界。

性质

  • 基本特征
    • 交半格：任意两个元素有下确界（交运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] ）。
    • 并半格：任意两个元素有上确界（并运算 [math]\displaystyle{ \vee }[/math] ）。
    • 半格是交半格和并半格的统称，只要求有上确界和下确界之一。
    • 半格是有向集：交半格是下有向集，并半格是上有向集。
  • 与格的关系
    • 格是半格的特化，两个运算使其既是交半格也是并半格。
    • 半格是格的推广，只要求的一侧的运算关系，去掉了另一个运算的存在性要求。
    • 通过添加元素可以将半格完备化为格。
  • 运算性质
    • 半格的子代数仍是半格，称为子半格；
    • 半格的直积仍是半格；
    • 半格的同态像仍是半格；
    • 半格可以嵌入到格中。
  • 代数性质
    • 半格是幂等、交换的半群。


二元关系复合类型
名称 自反、反自反 对称、反对称 传递 其他
相容关系 自反 对称 - -
预序 自反 - 传递 -
等价关系 自反 对称 传递 -
方向 自反 - 传递 有上/下界
偏序 自反 反对称 传递 -
半格 自反 反对称 传递 有上/下确界
弱序/全序划分 自反 - 传递 完全
全序 自反 反对称 传递 完全
良序 自反 反对称 传递 完全、良基
不对称 反自反 反对称 - -
拟序/严格偏序 反自反 反对称 传递 -
严格弱序/严格全序划分 反自反 反对称 传递 不可比关系传递
严格全序 反自反 反对称 传递 完全

模板:格及相关代数系统

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