方向（序理论）

方向
术语名称	方向
英语名称	direction

方向(partial order)指集合上的一个预序对任意两个元素都只有一个上界，或者说一个最大元，或者其对偶，对任意两个元素都只有一个下界，或者说一个最小元。元素间存在方向的集合称为有向集(directed set)，以上两种分别称为上有向集和下有向集。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] ，如果满足自反性、反对称性和传递性，即：

自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \preceq a) }[/math]
传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \preceq b \land b \preceq c \rightarrow a \preceq c) }[/math]
有上界： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \exists c (a \preceq c \land b \preceq c) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 为一个方向(direction)。并称带有方向关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 为有向集(directed set)。

在讨论有向集时往往与上下届和最大最小值的唯一性有关，如此定义为有上界的也称为上有向集(upward directed set)；相反地，将有上界的条件替换为有下界的则称为下有向集(downward directed set)。

注：任意两个元有上界也可以等价地表达为任意有限子集有上界。

方向是有上界的预序。

在预序的基础上，偏序所添加的反对称性，是一个通常比上下界严格的要求。但是偏序集的界可能不在集合内，导致其不是一个方向。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
运算	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]