不对称关系

不对称关系
术语名称	不对称关系
英语名称	asymmetric relation
别名	强反对称关系

不对称性
术语名称	不对称性
英语名称	asymmetry

不对称的
术语名称	不对称的
英语名称	asymmetric

不对称关系(asymmetric relation)指集合上的一个二元关系中，任意两个元素（可能相同）若有关系，则交换顺序后一定无关系。不对称关系同时是反对称关系和反自反关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \in X \forall b \in X \lnot(a R b \land b R a) }[/math]，称：

关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是不对称的(asymmetric)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有不对称性(asymmetry)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是不对称关系(asymmetric relation)。

等价定义：

与自身逆关系不相交的关系，即 [math]\displaystyle{ R \cap R^\mathrm{T} = \varnothing }[/math] 。

性质

表示
- 一个关系是不对称关系当且仅当关系矩阵满足：对任意 [math]\displaystyle{ i,j }[/math] ，不能同时有 [math]\displaystyle{ r_{ij}=1 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ r_{ji}=1 }[/math] 。特别地，当 [math]\displaystyle{ i=j }[/math] 时有 [math]\displaystyle{ r_{ii}=0 }[/math] 。
- 一个关系是不对称关系当且仅当关系图中，任意顶点上都没有自环，且任意两个不同顶点之间最多有一条有向边（没有双向边）。
关系简单运算相关性质
- 不对称关系的交仍是不对称关系。
- 不对称关系的并不一定是不对称关系。
- 不对称关系的复合不一定是不对称关系。
- 不对称关系的逆关系仍是不对称关系。
- 不对称关系的补一定是自反关系，但不一定是对称关系或反对称关系，如果不是空集上，也一定不是不对称关系。
关系闭包运算相关性质
- 不对称关系的自反闭包是其与恒等关系的并关系。
- 不对称关系的传递闭包不一定是不对称关系。
- 不对称关系的对称闭包不一定是不对称关系。
参与特殊类型关系
- 所有严格偏序都是不对称关系。
- 对称关系与不对称关系不互相排斥（同时是对称的且不对称的当且仅当是空关系）。
- 不对称关系总是反对称关系、反自反关系。
- 反对称关系同时是反自反关系的关系一定是不对称关系。
- 传递关系同时是反自反关系的关系一定是不对称关系。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全

参考资料

Asymmetric Relation - Wikipedia