图引理（模型）
| 图引理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 图引理 |
| 英语名称 | diagram lemma |
| 初等图引理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等图引理 |
| 英语名称 | |
图引理(diagram lemma)是一个联系了模型之间嵌入和扩张的定理。经常用于证明初等合并定理。
定理
图引理(diagram lemma)： 对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] 以下两个命题等价：
- 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 可被同构嵌入模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] ；
- 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 可被扩张成 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 的一个模型，或者说，存在模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}' }[/math] 是 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 的一个模型，且 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}' }[/math] 从签名中去除常量符号后的模型。
初等图引理
初等图引理(elementary diagram lemma)： 对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] 以下两个命题等价：
- 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 可被初等嵌入模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] ；
- 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 可被扩张成 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math] 的一个模型，或者说，存在模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}' }[/math] 是 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math] 的一个模型，且 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}' }[/math] 从签名中去除常量符号后的模型。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |