子模型
| 子模型 | |
|---|---|
| 术语名称 | 子模型 |
| 英语名称 | submodel |
一个模型的子模型(submodel)，指这个模型的一个子结构，要求这个子结构也是模型。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} = (A, I) }[/math] ，若给定模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} = (B, J) }[/math] 有相同签名且满足：
- [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math] ；
- 每个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 解释到同一个体对象，即 [math]\displaystyle{ J(c)=I(c) }[/math] ；
- 每个函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 解释到对应关系的限制，即 [math]\displaystyle{ J(f)=I(f)|_{B^n} }[/math] ；
- 每个谓词 [math]\displaystyle{ p }[/math] 解释到对应映射的限制，即 [math]\displaystyle{ J(p)=I(p) \cap B^n }[/math] 。
则称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的子模型(submodel)。
注：
- 子模型是一个子结构。
- 相反，与子结构条目中的定义一致， [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的扩张(extension)。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |