模型完备性
| 模型完备性 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型完备性 |
| 英语名称 | model completeness |
| 模型完备的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型完备的 |
| 英语名称 | model complete |
模型完备性(model completeness)指对一个一阶理论，这个理论的任意两模型间的同构嵌入都是初等嵌入。根据图引理，这也等价于其每个模型都使得模型中的原子图加入后的理论是完备的。
模型完备性是关于一个理论中，子模型是不是总是初等子模型的理论。研究动机是为了推广代数闭域理论。
定义
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，若对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的每个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] ，理论 [math]\displaystyle{ T\cup D(\mathfrak{A}) }[/math] 完备，则称理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是模型完备的(model complete)。
性质
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，以下命题等价：
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 是模型完备的。
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 的每个模型都对存在量词封闭(existentially closed)：即对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的子模型，则考虑语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] 上的模型和公式，对任意的仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式） [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，若满足 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}_A\vDash\phi }[/math] 则满足 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_A\vDash\phi }[/math] 。
- 每个仅存在量化公式都有一个关于模型 [math]\displaystyle{ T }[/math] 等价的仅全称量化公式：即对任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi) }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ v_0\cdots v_n }[/math] 是其中的自由变元。
- 每个公式都有一个关于模型 [math]\displaystyle{ T }[/math] 等价的仅全称量化公式：即对任意公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi) }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ v_0\cdots v_n }[/math] 是其中的自由变元。
- 对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的子模型，则 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B} }[/math] 。
一个一阶可数语言上的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，若同时满足：
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 只有无穷模型；
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 的任意模型链的极限也是 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型；
- 对某个无穷基数 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴的。
则 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是模型完备的。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |