模型完备性
| 模型完备性 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型完备性 |
| 英语名称 | model completeness |
| 模型完备的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型完备的 |
| 英语名称 | model complete |
模型完备性(model completeness)指对一个一阶理论上任意模型的同构嵌入都是初等嵌入。根据图引理，这也等价于其每个模型都使得模型中的原子图加入后的理论是完备的。
模型完备性是关于一个理论中，子模型是不是总是初等子模型的理论。
定义
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，若对每个 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] ，理论 [math]\displaystyle{ T\cup D(\mathfrak{A}) }[/math] 完备，则称理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是模型完备的(model complete)。
性质
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，以下命题等价：
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 是模型完备的。
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 的每个模型都对存在量词封闭：即对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的子模型，对满足 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi }[/math] 的任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_A\vDash\phi }[/math] 。
- 对任意公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi) }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ v_0\cdots v_n }[/math] 是其中的自由变元。
- 对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的子模型，则 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B} }[/math] 。