Löwenheim–Skolem 定理
| 勒文海姆–斯科伦定理 | |
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| 术语名称 | 勒文海姆–斯科伦定理 |
| 英语名称 | Löwenheim–Skolem theorem |
Löwenheim–Skolem 定理(Löwenheim–Skolem theorem)是关于同一签名下不同基数的模型存在的定理。定理指出若模型存在，则无论是比参考模型更大还是更小，总是存在比签名任意更大基数的模型存在，且和参考模型满足初等子结构关系。
定义
对任意一阶语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上签名为 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 的结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] ，对满足 [math]\displaystyle{ \kappa\geq\operatorname{card}\sigma }[/math] 的任意基数 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] ：
- 若 [math]\displaystyle{ \kappa \lt \operatorname{card} A }[/math] （称为向下 Löwenheim–Skolem 定理(downward Löwenheim–Skolem theorem)），则必然存在结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 同时满足初等子结构关系 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}\preceq\mathfrak{A} }[/math] 和基数要求 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} M = \kappa }[/math] 。此外，对任意满足 [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \operatorname{card}X \leq \kappa }[/math] 的集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ X\subseteq M }[/math] 。
- 若 [math]\displaystyle{ \kappa \geq \operatorname{card}A }[/math] （称为向上 Löwenheim–Skolem 定理(upward Löwenheim–Skolem theorem)），则必然存在结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 同时满足初等扩张关系 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}\succeq\mathfrak{A} }[/math] 和基数要求 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} M = \kappa }[/math] 。
说明
- 定理要求一阶逻辑语言。
- 在部分材料中，不是按签名的基数讨论，而是按语言的基数讨论，其对应转换为语言的签名即与上述定义相同。
- 在部分材料中，会表述为任意有限或可数无穷的一阶语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] ，然后后续都更新为对应表述。