Tarski–Vaught 测试
| 塔斯基–沃特测试 | |
|---|---|
| 术语名称 | 塔斯基–沃特测试 |
| 英语名称 | Tarski–Vaught test |
| 别名 | Tarski–Vaught criterion, Tarski–Vaught theorem |
本条目没有一致可信的中文译名。
Tarski–Vaught 测试(Tarski–Vaught test)或Tarski–Vaught 标准(Tarski–Vaught criterion)是关于两个模型间初等子模型充要条件的定理，在较大的结构之间初等子结构的构造中经常使用。
定理
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的两个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] ，则初等子模型关系 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B} }[/math] 成立当且仅当： 对任意含有自由变元 [math]\displaystyle{ x_0,\cdots,x_n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 和任意 [math]\displaystyle{ a_0,\cdots,a_n\in A }[/math] ，若对某个 [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi[a_0/x_0,\cdots,a_{i-1}/x_{i-1},b/x_i,a_{i+1}/x_{i+1},\cdots,a_n/x_n] }[/math] ，都存在 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi[a_0/x_0,\cdots,a_{i-1}/x_{i-1},a/x_i,a_{i+1}/x_{i+1},\cdots,a_n/x_n] }[/math] 。
说明
尽管两个模型论域不同， [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] 由于初等子模型要求在两个模型中同时成立或同时不成立，对涉及 [math]\displaystyle{ B\setminus A }[/math] 的命题，必须有对应的只在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 内成立的取值才能满足。这一定理说明了在只有一个变量取值在这个范围内时，必然可以保证在其他赋值不变的情况下存在这样的取值。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |