初等链（模型）

初等链
术语名称	初等链
英语名称	elementary chain

极限模型
术语名称	极限模型
英语名称	limit model

初等链(elementary chain)指模型间通过初等子模型关系构成的序列。由于初等子模型是一种子模型，初等链也一定是模型链。

定义

对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的模型的序列 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_0\preceq\mathfrak{A}_1\preceq\cdots\preceq\mathfrak{A}_n\preceq\cdots }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ m\lt n\in \mathbb{N} }[/math] ，都有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_m \preceq \mathfrak{A}_n }[/math] ，则称序列是一个初等链(elementary chain)。

记 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_k = (A_k, I_k) }[/math] ，定义记号 [math]\displaystyle{ \bigcup \{\mathfrak{A}_n\mid n\in\mathbb{N}\} }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的如下模型：

• 论域为 [math]\displaystyle{ \bigcup\{A_n\mid n\in\mathbb{N}\} }[/math] ；
• 解释映射 [math]\displaystyle{ I }[/math] 满足：
  • 个体常量解释到同一个体对象 [math]\displaystyle{ I(c)=I_0(c)=I_1(c)=\cdots=I_n(c)=\cdots }[/math] ；
  • 函项解释到映射的并 [math]\displaystyle{ I(f)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n(f) }[/math] ；
  • 谓词解释到关系的并 [math]\displaystyle{ I(p)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n(p) }[/math] 。

称为初等链的极限模型(limit model)。

性质

• Tarski 初等链定理。

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