初等链（模型）

初等链
术语名称	初等链
英语名称	elementary chain

极限模型
术语名称	极限模型
英语名称	limit model

初等链(elementary chain)指模型间通过初等子模型关系构成的序列。由于初等子模型是一种子模型，初等链也一定是模型链。

定义

对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的模型的序列 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_0\preceq\mathfrak{A}_1\preceq\cdots\preceq\mathfrak{A}_n\preceq\cdots }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ m\lt n\in \mathbb{N} }[/math] ，都有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_m \preceq \mathfrak{A}_n }[/math] ，则称序列是一个初等链(elementary chain)。

记 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_k = (A_k, I_k) }[/math] ，定义记号 [math]\displaystyle{ \bigcup \{\mathfrak{A}_n\mid n\in\mathbb{N}\} }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的如下模型：

• 论域为 [math]\displaystyle{ \bigcup\{A_n\mid n\in\mathbb{N}\} }[/math] ；
• 解释映射 [math]\displaystyle{ I }[/math] 满足：
  • 个体常量解释到同一个体对象 [math]\displaystyle{ I(c)=I_0(c)=I_1(c)=\cdots=I_n(c)=\cdots }[/math] ；
  • 函项解释到映射的并 [math]\displaystyle{ I(f)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n(f) }[/math] ；
  • 谓词解释到关系的并 [math]\displaystyle{ I(p)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} I_n(p) }[/math] 。

称为初等链的极限模型(limit model)。

性质

• Tarski 初等链定理。

模型论
研究对象	理论和模型	形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math]		形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math]
	刻画性质	语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性		签名、基数（有限、无穷）
	相互关系	模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ）		理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型
模型间的关系
同构		同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
子模型相关		子模型（子结构）、扩张	模型链	同构嵌入
初等子模型相关		初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math]	初等链、初等链的极限	初等嵌入
初等等价		初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
相关定理		Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试
		图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]）
理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
刻画		Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性
应用	模型分类	标准模型、非标准模型
	定理	（Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试
理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
模型完备性		理论的模型完备性	理论的子模型完备性	理论的模型完备化