图（模型）
| 图 | |
|---|---|
| 术语名称 | 图 |
| 英语名称 | diagram |
| 别名 | 图象, 图像, 原子图, atomic diagram |
| 初等图 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等图 |
| 英语名称 | elementary diagram |
| 别名 | 基本图 |
一个语言或理论上模型的图(diagram)，指将这一模型论域中的个体对象的个体常项加入语言后，所获得的新模型上的全部原子命题及其否定。全部命题称为其初等图(elementary diagram)。其中在模型中的真值为真的称为正图像(positive diagram)，为假的称为负图像(negative diagram)。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A, I) }[/math] ，用代表论域中的每个对象 [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] 的个体常项 [math]\displaystyle{ c_a }[/math] ，得到语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A = \mathcal{L}\cup\{c_a\mid a\in A\} }[/math] ，记得到的语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_A = (A, I') }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ I':c_a\mapsto a, x\mapsto I(x) }[/math] 。此时：
- 对模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_A }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math]-原子公式及 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math]-原子公式的否定，称其中为真的公式所构成的集合为原模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的原子图(atomic diagram)，简称图(diagram)，记作 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] ；
- 这些 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math]-原子公式中，为真的公式所构成的集合称为模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的正图象(position diagram)，记作 [math]\displaystyle{ D^+(\mathfrak{A}) }[/math] ；为假的公式所构成的集合称为模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的负图象(negative diagram)，记作 [math]\displaystyle{ D^-(\mathfrak{A}) }[/math] ；也就是 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A})=D^+(\mathfrak{A})\cup \lnot D^-(\mathfrak{A}) }[/math] ；
- 称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_A }[/math] 上的全体为真的 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math]-公式的集合，即模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}_A }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}(\mathfrak{A}_A) }[/math] ，为原模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的初等图(elementary diagram)，记作 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math] ；
注：有的材料中定义图为不含量词的公式的集合。由于仅含有逻辑联结词的公式的真值也只取决于原子公式，在讨论满足条件时两种定义是等价的。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |