初等子模型
| 初等子结构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等子结构 |
| 英语名称 | elementary substructure |
| 别名 | 初等子结构 |
| 初等子模型 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等子模型 |
| 英语名称 | elementary submodel |
| 别名 | 基本子模型 |
| 初等扩张 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等扩张 |
| 英语名称 | elementary extension |
| 别名 | 基本扩张 |
一个结构的初等子结构(elementary substructure)，指一个论域是这个结构论域子集的结构，且两结构对这个语言中的任意表达式，两个结构在这个子集上的对应赋值中的满足情况均相同。相反称为初等扩张(elementary extension)讨论模型时，称为初等子模型(elementary submodel)。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上的结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}=(B,J) }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] 且：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中含有自由变元 [math]\displaystyle{ x_1,\cdots,x_n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 和任意个体对象 [math]\displaystyle{ a_1,\cdots,a_n\in A }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi[a_1/x_1,\cdots,a_n/x_n] }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi[a_1/x_1,\cdots,a_n/x_n] }[/math] 。
则称结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的初等子结构(elementary substructure)，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B} }[/math] ，也称结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的初等扩张(elementary extension)，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\succeq\mathfrak{A} }[/math] 。
当讨论理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的两个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 时，称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的初等子模型(elementary submodel)。
注：一般定义为个体对象代入，但这一表述也可以表述为赋值之间的关系：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中含有自由变元 [math]\displaystyle{ x_1,\cdots,x_n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 和任意个体变项赋值 [math]\displaystyle{ v: \operatorname{Var}(\mathcal{L})\to A; x_1\mapsto a_1,\cdots,x_n\mapsto a_n }[/math] ，构成的两个赋值 [math]\displaystyle{ (\mathfrak{A}, v) = (A, I, v) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (\mathfrak{B}, v) = (B, J, v) }[/math] 之间有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi^v }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi^v }[/math] 。