初等等价
| 初等等价 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等等价 |
| 英语名称 | elementary equivalence |
| 初等等价的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等等价的 |
| 英语名称 | elementarily equivalent |
结构间或模型间的初等等价(elementary equivalence)，指两个模型对这个语言中的任意闭式，在这两个结构上的真值均相同。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上的结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}=(B,J) }[/math] ，若：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的闭式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi }[/math] 。
则称结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 与结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是初等等价(elementarily equivalent)的，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\equiv\mathfrak{B} }[/math] 。
当讨论理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的两个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 时，称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的初等等价(elementarily equivalent)的。
说明
- 初等等价意味着对当前语言中的任意闭式都有相同真值，对于通过给定闭式约束性质的方法无法区分两个模型。
- 初等等价只是对闭式有约定，这意味着对于开语句的对应赋值，可能有不同的真值。只是这样的开语句中的自由变元用存在量词或全称量词约束后一定有相同真值。