初等等价
| 初等等价 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等等价 |
| 英语名称 | elementary equivalence |
| 初等等价的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等等价的 |
| 英语名称 | elementarily equivalent |
结构间或模型间的初等等价(elementary equivalence)，指两个模型对这个语言中的任意闭式，在这两个结构上的真值均相同。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上有相同签名的两个结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}=(B,J) }[/math] ，若：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的闭式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi }[/math] 。
则称结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 与结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是初等等价(elementarily equivalent)的，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\equiv\mathfrak{B} }[/math] 。
当讨论理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的两个有相同签名的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 时，称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的初等等价(elementarily equivalent)的。
说明
- 初等等价意味着对当前语言中的任意闭式都有相同真值，对于通过给定闭式约束性质的方法无法区分两个模型。
- 初等等价只是对闭式有约定，这意味着对于开语句的对应赋值，可能有不同的真值。只是这样的开语句中的自由变元用存在量词或全称量词约束后一定有相同真值。
- 一个可靠的推理系统只能推理出是真的公式，如果理论有两个不初等等价的结构，则公式在部分模型中为真部分模型中为假，这样的公式一定会成为完备性的反例，其与其否定均无法被推出。理论完备当且仅当其所有模型都初等等价。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |