初等嵌入
| 初等嵌入 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等嵌入 |
| 英语名称 | elementary embedding |
结构间或模型间的初等嵌入(elementary embedding)，指一个结构可以通过映射投射到另一个结构的初等子结构上。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上有相同签名的两个结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}=(B,J) }[/math] ，若存在映射 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] 使得：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中含有自由变元 [math]\displaystyle{ x_1,\cdots,x_n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 和任意个体对象 [math]\displaystyle{ a_1,\cdots,a_n\in A }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi[a_1/x_1,\cdots,a_n/x_n] }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi[f(a_1)/x_1,\cdots,f(a_n)/x_n] }[/math] 。
则称映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 到结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的一个初等嵌入(elementary embedding)。
当讨论理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的两个有相同签名的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 时，称映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 到模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的一个初等嵌入(elementarily embedding)。
等价定义
考虑像集 [math]\displaystyle{ f(A)\subseteq B }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ (f(A), J') }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ J' }[/math] 是 [math]\displaystyle{ J }[/math] 后限制在 [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] 后的解释映射，必然有 [math]\displaystyle{ (f(A), J')\preceq \mathfrak{B} }[/math] ，也就是说初等嵌入是把一个模型嵌入了另一个模型的初等子模型中。因此，有以下两个等价定义：
- 对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上有相同签名的两个结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] ，若存在相同签名的结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{C} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\cong\mathfrak{C} }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \mathfrak{C}\preceq\mathfrak{B} }[/math] ，则是初等嵌入。
- 对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上有相同签名的两个结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] ，若存在相同签名的结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{D} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\preceq\mathfrak{D} }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \mathfrak{D}\cong\mathfrak{B} }[/math] ，则是初等嵌入。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |