初等嵌入
| 初等嵌入 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等嵌入 |
| 英语名称 | elementary embedding |
结构间或模型间的初等嵌入(elementary embedding)，指一个结构可以通过映射投射到另一个结构的初等子结构上。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上有相同签名的两个结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}=(B,J) }[/math] ，若存在映射 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] 使得：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中含有自由变元 [math]\displaystyle{ x_1,\cdots,x_n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 和任意个体对象 [math]\displaystyle{ a_1,\cdots,a_n\in A }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi[a_1/x_1,\cdots,a_n/x_n] }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi[f(a_1)/x_1,\cdots,f(a_n)/x_n] }[/math] 。
则称映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 到结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的一个初等嵌入(elementary embedding)。
当讨论理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的两个有相同签名的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 时，称映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 到模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的一个初等嵌入(elementarily embedding)。
说明
- 定义中考虑像集 [math]\displaystyle{ f(A)\subseteq B }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ (f(A), J') }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ J' }[/math] 是 [math]\displaystyle{ J }[/math] 后限制在 [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] 后的解释映射，必然有 [math]\displaystyle{ (f(A), J')\preceq \mathfrak{B} }[/math] ，也就是说初等嵌入是把一个模型嵌入了另一个模型的初等子模型中。