范畴性（理论）

范畴性
术语名称	范畴性
英语名称	categoricity

κ-范畴的
术语名称	κ-范畴的
英语名称	κ-categorical

范畴性(categoricity)是描述理论在模型同构意义上是否只有唯一模型的性质，换句话说，是描述理论是否有唯一一种模型结构的性质。

这一名词本身为了研究仅存在一种模型的理论诞生。但由于向上 Löwenheim–Skolem 定理成立，对于存在无穷模型的理论，任意给出一个模型后，只要给出更大的基数，理论就存在新的模型，不可能全部唯一。因此范畴性更多地研究在指定基数下，模型是否在同构意义下唯一。

定义

对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，对给定基数 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ T }[/math] 有且仅有一个基数为 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] 的模型，则称理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴的( [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-categorical 或 categorical in [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] )。

模型论
研究对象	理论和模型	形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math]		形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math]
	刻画性质	语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性		签名、基数（有限、无穷）
	相互关系	模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ）		理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型
模型间的关系
同构		同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
子模型相关		子模型（子结构）、扩张	模型链	同构嵌入
初等子模型相关		初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math]	初等链、初等链的极限	初等嵌入
初等等价		初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
相关定理		Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试
		图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]）
理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
刻画		Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性
应用	模型分类	标准模型、非标准模型
	定理	（Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试
理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
模型完备性		理论的模型完备性	理论的子模型完备性	理论的模型完备化