Łoś–Vaught 测试
| Łoś–Vaught test | |
|---|---|
| 术语名称 | |
| 英语名称 | Łoś–Vaught test |
Łoś–Vaught 测试(Łoś–Vaught test)是一个一阶理论判定是否完备的条件，定理描述可以通过对某个比理论签名基数更大的无穷基数上有范畴性来判定其完备。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上签名为 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，若：
- 没有有限模型（即，只有无穷模型）；
- 对一个无穷基数 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \kappa \gt \operatorname{card}\sigma }[/math] ， [math]\displaystyle{ T }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴的（即 [math]\displaystyle{ T }[/math] 在模型同构意义下有且只有一个基数为 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] 的模型）；
则理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是完备的。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |