完备性（理论）

完备性
术语名称	完备性
英语名称	completeness

完备的
术语名称	完备的
英语名称	complete

一个语言的完备(complete)的理论，指在该语言中这个理论的公式在某个推理系统中的推理规则下，对任意公式及其否定至少能推出其中一个。也就是说通过语法上的推断，这个理论是完备的。

定义

对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一个理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，若在公理系统 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] 中，从 [math]\displaystyle{ T }[/math] 中的任意公式按推理规则进行推理时，即不存在 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的一个公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 同时有 [math]\displaystyle{ T\nvdash \phi }[/math] 和 [math]\displaystyle{ T\nvdash\lnot\phi }[/math] （[math]\displaystyle{ T\vdash\lnot\phi }[/math] 也可表述为 [math]\displaystyle{ T\cup\{\phi\} }[/math] 不一致），则称理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是完备(complete)，或理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 具有完备性(completeness)。

模型论
研究对象	理论和模型	形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math]		形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math]
	刻画性质	语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性		签名、基数（有限、无穷）
	相互关系	模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ）		理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型
模型间的关系
同构		同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
子模型相关		子模型（子结构）、扩张	模型链	同构嵌入
初等子模型相关		初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math]	初等链、初等链的极限	初等嵌入
初等等价		初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
相关定理		Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试
		图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]）
理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
刻画		Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性
应用	模型分类	标准模型、非标准模型
	定理	（Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试
理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
模型完备性		理论的模型完备性	理论的子模型完备性	理论的模型完备化