模型完备化
| 模型完备化 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型完备化 |
| 英语名称 | model completion |
模型完备化(model completion)指对一个一阶理论，向其中加入新的公式，以使得这个新理论具有模型完备性。根据图引理，这也等价于其每个模型都使得模型中的原子图加入后的理论是可满足且完备的。
定义
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 及 [math]\displaystyle{ T^*\supseteq T }[/math] ，若对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的每个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] ，理论 [math]\displaystyle{ T^*\cup D(\mathfrak{A}) }[/math] 完备，则称理论 [math]\displaystyle{ T^* }[/math] 是理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型完备化(model completion)。
每个理论的不同模型完备化总是逻辑等值的，可以任务其在逻辑等值关系下唯一，因此研究模型完备问题时，往往可以用演绎理论，即逻辑蕴涵关系下的闭包代替具体理论，也不需要区分闭包相同的具体理论。
性质
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ：
- 若 [math]\displaystyle{ T }[/math] 本身是模型完备的，则 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是其本身的一个模型完备化。
- 对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的一个模型完备化 [math]\displaystyle{ T^* }[/math] ：
- [math]\displaystyle{ T^* }[/math] 是模型完备的。
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 的任意模型都是 [math]\displaystyle{ T^* }[/math] 的某个模型的子模型。