模型完备化
| 模型完备化 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型完备化 |
| 英语名称 | model completion |
模型完备化(model completion)指对一个一阶理论，向其中加入新的公式，以使得这个新理论具有模型完备性。根据图引理，这也等价于其每个模型都使得模型中的原子图加入后的理论是可满足且完备的。
定义
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 及 [math]\displaystyle{ T^*\supseteq T }[/math] ，若对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的每个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] ，理论 [math]\displaystyle{ T^*\cup D(\mathfrak{A}) }[/math] 完备，则称理论 [math]\displaystyle{ T^* }[/math] 是理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型完备化(model completion)。
每个理论的不同模型完备化总是逻辑等值的，可以任务其在逻辑等值关系下唯一，因此研究模型完备问题时，往往可以用演绎理论，即逻辑蕴涵关系下的闭包代替具体理论，也不需要区分闭包相同的具体理论。
性质
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的一阶理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] ：
- 若 [math]\displaystyle{ T }[/math] 本身是模型完备的，则 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是其本身的一个模型完备化。
- 对 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的一个模型完备化 [math]\displaystyle{ T^* }[/math] ：
- [math]\displaystyle{ T^* }[/math] 是模型完备的。
- [math]\displaystyle{ T }[/math] 的任意模型都是 [math]\displaystyle{ T^* }[/math] 的某个模型的子模型。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |