有限交换群的结构

不变因子
术语名称	不变因子
英语名称	invariant factor

初等因子
术语名称	初等因子
英语名称	elementary divisor

有限交换群的结构可以拆分成循环群的直和，且因子被群唯一确定，可以用来表述其结构。

其中拆成循环群的大小中定义出了不变因子(invariant factor)和初等因子(elementary divisor)。

定理

对交换群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其中如果有两个有限子群 [math]\displaystyle{ H, K }[/math] ，且两个子群阶数互质，即满足 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(|H|, |K|)=1 }[/math] ，则两个子群的和就是他们的直和。

有限交换群是其非平凡的 Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群的直和。

直和使得有限交换群可以被分解为短正合列，如果从群中取出具有最大阶的元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] ，其短正合列： [math]\displaystyle{ \{e\} \to \langle g \rangle \to G \to G/\langle g \rangle \to \{e\} }[/math] 一定是一个分裂，即 [math]\displaystyle{ \langle g \rangle \cap G/\langle g \rangle = \{e\} }[/math] 。

进一步地，如果 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是个阶数为 [math]\displaystyle{ p^{r+1}, r\geq 1 }[/math] 的 [math]\displaystyle{ p }[/math]-群，若这个群是循环群，元素最大阶数与群阶数相等；若这个群不是循环群，且有 [math]\displaystyle{ p^r }[/math] 阶元素（即有一个 [math]\displaystyle{ p^r }[/math] 阶的最大循环子群），且此时存在一个 [math]\displaystyle{ h\in G \setminus \langle g\rangle }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_G h = p }[/math] 。

由于任意交换 [math]\displaystyle{ p }[/math]-群的总能以上述方式找到一个阶最大的元素并拆解成循环群和其余部分的直和，且剩余部分也是交换 [math]\displaystyle{ p }[/math]-群，其阶数是指数更小的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的幂，因此不断拆分下去，任意 [math]\displaystyle{ p }[/math]-群都是循环群的直和。因此有限交换群总是可以拆成一些循环群的直和。

定义

对非平凡的有限循环群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ：

存在质数 [math]\displaystyle{ p_1, \cdots, p_r }[/math] 及对应每个质数 [math]\displaystyle{ p_i }[/math] 的正整数 [math]\displaystyle{ n_{i,1},\cdots,n_{i_j} }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ |G| = \prod_{i,j} p_i^{n_{i,j}} }[/math] 且有 [math]\displaystyle{ G\cong \bigoplus_{i,j} \mathbb{Z}/p_i^{n_{i,j}} \mathbb{Z} }[/math] 。这组分解被 [math]\displaystyle{ G }[/math] 唯一确定。 称其中的 [math]\displaystyle{ p_i^{n_{i,j}} }[/math] 为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的初等因子(elementary divisor)。

存在两两整除的正整数 [math]\displaystyle{ 1 \lt d_1 \mid \cdots \mid d_s }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ |G| = \prod_{i} d_i }[/math] 且有 [math]\displaystyle{ G\cong \bigoplus_{i} \mathbb{Z}/d_i \mathbb{Z} }[/math] 。这组分解被 [math]\displaystyle{ G }[/math] 唯一确定。 称其中的 [math]\displaystyle{ d_i }[/math] 为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的不变因子(invariant divisor)。

注：两个等价，一定对应地满足 [math]\displaystyle{ d_j = p_1^{n_1,j} \cdots p_r^{n_r,j} }[/math] ，从大到小排列所有相同底数的质数幂（允许出现 1 ）然后把最大的乘起来作为 [math]\displaystyle{ d_s }[/math] ，第二大的乘起来作为 [math]\displaystyle{ d_{s-1} }[/math] ，依次类推。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群