半格：修订间差异

2025年10月31日 (五) 07:59的最新版本

半格
术语名称	半格
英语名称	semilattice

交半格
术语名称	交半格
英语名称	meet-semilattice
别名	lower semilattice

并半格
术语名称	并半格
英语名称	join-semilattice
别名	upper semilattice

交
术语名称	交
英语名称	meet

并
术语名称	并
英语名称	join

交半格(meet-semilattice)指一个偏序集的有限子集总有下确界。 并半格(join-semilattice)指一个偏序集的有限子集总有上确界。也指其由抽象出的，满足结合律、交换律、幂等律的代数系统。

满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也定义了一个偏序，可认为是等价地描述了同一个结构。

定义

以下两个定义的结构等价。

序理论定义

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其下确界，则此时，称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个交半格(meet-semilattice)，其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可相同）构成的集合的下确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的交(meet)，记作 [math]\displaystyle{ x \wedge y }[/math] 。

对偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ \{x,y\} \subseteq P }[/math] 都存在其上确界，则此时，称 [math]\displaystyle{ P }[/math] 是一个并半格(join-semilattice)，其中由 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] （可相同）构成的集合的上确界称为元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 的并(join)，记作 [math]\displaystyle{ x \vee y }[/math] 。

交半格和并半格统称半格(semilattice)。

代数系统定义

对非空集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 及其上一个二元运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] ，若其满足以下公理：

封闭性(closure)： [math]\displaystyle{ (\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S) }[/math] ；
结合性(associativity)： [math]\displaystyle{ (\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)) }[/math] 。
交换性(commutativity)： [math]\displaystyle{ (\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a) }[/math] 。
幂等性(idempotency)： [math]\displaystyle{ (\forall a \in S) (a\wedge a = a) }[/math] 。

则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \wedge \rangle }[/math] 称为一个半格(semilattice)。

以上定义的代数系统中，运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] 称为交(meet)，并称代数系统 [math]\displaystyle{ (S, \wedge) }[/math] 为交半格(meet-semilattice)；如果使用 [math]\displaystyle{ \vee }[/math] ，称为并(join)，并称代数系统 [math]\displaystyle{ (S, \vee) }[/math] 为并半格(join-semilattice)。

性质描述

满足幂等律的交换半群称为半格。

两种定义的等价性

序理论定义和代数系统定义是等价的：

序理论到代数
- 在序理论定义的交半格 [math]\displaystyle{ (P, \leq) }[/math] 中，定义任意两个元素到其下确界的运算 [math]\displaystyle{ a \wedge b = \inf\{a,b\} }[/math] ；
- 在序理论定义的并半格 [math]\displaystyle{ (P, \leq) }[/math] 中，定义任意两个元素到其上确界的运算 [math]\displaystyle{ a \vee b = \sup\{a,b\} }[/math] ；
- 则这些运算满足结合律、交换律、幂等律的代数结构。
从代数到序理论
- 在代数定义的交半格 [math]\displaystyle{ (S, \wedge) }[/math] 中，定义偏序 [math]\displaystyle{ a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b = a }[/math] ；
- 在代数定义的并半格 [math]\displaystyle{ (S, \vee) }[/math] 中，定义偏序 [math]\displaystyle{ a \leq b \Leftrightarrow a \vee b = b }[/math] ；
- 这些偏序关系使得代数运算对应偏序中的确界。

性质

基本特征
- 交半格：任意两个元素有下确界（交运算 [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] ）。
- 并半格：任意两个元素有上确界（并运算 [math]\displaystyle{ \vee }[/math] ）。
- 半格是交半格和并半格的统称，只要求有上确界和下确界之一。
- 半格是有向集：交半格是下有向集，并半格是上有向集。
与格的关系
- 格是半格的特化，两个运算使其既是交半格也是并半格。
- 半格是格的推广，只要求的一侧的运算关系，去掉了另一个运算的存在性要求。
- 通过添加元素可以将半格完备化为格。
运算性质
- 半格的子代数仍是半格，称为子半格；
- 半格的笛卡尔积仍是半格；
- 半格的同态像仍是半格；
- 半格可以嵌入到格中。
代数性质
- 半格是幂等、交换的半群。

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全

模板:格及相关代数系统

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+'''交半格'''('''meet-semilattice''')指一个[[偏序集]]的有限[[子集]]总有[[下确界]]。
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+'''并半格'''('''join-semilattice''')指一个偏序集的有限子集总有上确界。
-也指其由抽象出的，满足[[结合律]]、[[交换律]]、[[幂等律（二元运算）|幂等律]]的代数系统。
+也指其由抽象出的，满足[[结合律]]、[[交换律]]、[[幂等律（二元运算）|幂等律]]的[[代数系统]]。
 满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也定义了一个偏序，可认为是等价地描述了同一个结构。
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 === 序理论定义 ===
-对偏序集 <math>(P, \preceq)</math>  ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其下确界，则此时，称 <math>P</math> 是一个'''交半格'''('''join-semilattice''')，其中由 <math>x,y</math> （可以相同）构成的集合的下确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''交'''('''join''')，记作 <math>x \wedge y</math> 。
+对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其下确界，则此时，
+称 <math>P</math> 是一个'''交半格'''('''meet-semilattice''')，
+其中由 <math>x,y</math> （可相同）构成的集合的下确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''交'''('''meet''')，
+记作 <math>x \wedge y</math> 。
-对偏序集 <math>(P, \preceq)</math>  ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其上确界，则此时，称 <math>P</math> 是一个'''并半格'''('''meet-semilattice''')，其中由 <math>x,y</math> （可以相同）构成的集合的上确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''并'''('''meet''')，记作 <math>x \vee y</math> 。
+对偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其上确界，则此时，
+称 <math>P</math> 是一个'''并半格'''('''join-semilattice''')，
+其中由 <math>x,y</math> （可相同）构成的集合的上确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''并'''('''join''')，
+记作 <math>x \vee y</math> 。
+交半格和并半格统称'''半格'''('''semilattice''')。
 === 代数系统定义 ===
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 对非空集合 <math>S</math> 及其上一个二元运算 <math>\wedge</math> ，若其满足以下'''公理'''：
-* '''封闭性'''('''closure''')：<math>(\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S)</math> ；
+* '''封闭性'''('''closure''')： <math>(\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S)</math> ；
-* '''结合性'''('''associativity''')：<math>(\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c))</math> 。
+* '''结合性'''('''associativity''')： <math>(\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c))</math> 。
-* '''交换性'''('''commutativity''')：<math>(\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a)</math> 。
+* '''交换性'''('''commutativity''')： <math>(\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a)</math> 。
-* '''幂等性'''('''idempotency''')：<math>(\forall a \in S) (a\wedge a = a)</math> 。
+* '''幂等性'''('''idempotency''')： <math>(\forall a \in S) (a\wedge a = a)</math> 。
 则构成的代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 称为一个'''半格'''('''semilattice''')。
-以上定义的代数系统中，运算 <math>\wedge</math> 称为'''交'''('''join''')，并称代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 为'''交半格'''('''join-semilattice''')；如果使用 <math>\vee</math> ，称为'''并'''('''meet''')，并称代数系统 <math>\langle S, \vee \rangle</math> 为'''并半格'''('''meet-semilattice''')。
+以上定义的代数系统中，运算 <math>\wedge</math> 称为'''交'''('''meet''')，并称代数系统 <math>(S, \wedge)</math> 为'''交半格'''('''meet-semilattice''')；
+如果使用 <math>\vee</math> ，称为'''并'''('''join''')，并称代数系统 <math>(S, \vee)</math> 为'''并半格'''('''join-semilattice''')。
 === 性质描述 ===
 * 满足幂等律的交换[[半群]]称为半格。
+=== 两种定义的等价性 ===
+序理论定义和代数系统定义是等价的：
+* 序理论到代数
+** 在序理论定义的交半格 <math>(P, \leq)</math> 中，定义任意两个元素到其下确界的运算 <math>a \wedge b = \inf\{a,b\}</math> ；
+** 在序理论定义的并半格 <math>(P, \leq)</math> 中，定义任意两个元素到其上确界的运算 <math>a \vee b = \sup\{a,b\}</math> ；
+** 则这些运算满足结合律、交换律、幂等律的代数结构。
+* 从代数到序理论
+** 在代数定义的交半格 <math>(S, \wedge)</math> 中，定义偏序 <math>a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b = a</math> ；
+** 在代数定义的并半格 <math>(S, \vee)</math> 中，定义偏序 <math>a \leq b \Leftrightarrow a \vee b = b</math> ；
+** 这些偏序关系使得代数运算对应偏序中的确界。
+== 性质 ==
+* 基本特征
+** 交半格：任意两个元素有下确界（交运算 <math>\wedge</math> ）。
+** 并半格：任意两个元素有上确界（并运算 <math>\vee</math> ）。
+** 半格是交半格和并半格的统称，只要求有上确界和下确界之一。
+** 半格是[[有向集]]：交半格是下有向集，并半格是上有向集。
+* 与格的关系
+** [[格]]是半格的特化，两个运算使其既是交半格也是并半格。
+** 半格是格的推广，只要求的一侧的运算关系，去掉了另一个运算的存在性要求。
+** 通过添加元素可以将半格完备化为格。
+* 运算性质
+** 半格的[[子代数]]仍是半格，称为'''子半格'''；
+** 半格的[[笛卡尔积]]仍是半格；
+** 半格的[[同态像]]仍是半格；
+** 半格可以嵌入到格中。
+* 代数性质
+** 半格是幂等、交换的[[半群]]。
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