真值

真值
术语名称	真值
英语名称	truth value

真值是表征命题真假的抽象值。在经典二值逻辑中，真值只有真和假两种取值；在其他逻辑系统中，真值可能有更多取值或不同的结构。

定义

在逻辑语义学中，真值是对命题真假的抽象表示：

• 在二值逻辑中，真值只有两个：真和假。
• 在多值逻辑中，真值可能有多个，如未知、可能真、可能假等。
• 在模糊逻辑中，真值是 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] 区间内的实数。

真值通过指派赋予命题，形成命题的语义解释。

真值表方法

主条目：真值表

真值表是系统计算命题真值的重要工具，通过列出所有命题变元的可能真值组合，表达全部情况下的真值情况。

真值系统

根据真值的模型，有不同的真值系统。经典逻辑都默认为二值逻辑。

二值逻辑

• 只有真和假两种真值。
• 满足排中律、无矛盾律。
• 是经典逻辑的基础。

三值逻辑

• 存在真、假外的第三个真值，通常代表未知或不确定。
• 用于处理不完全信息或悖论。
• 著名的系统包括 Kleene 逻辑和 Łukasiewicz 逻辑。

多值逻辑

• 真值的取值范围是大于三个的离散值。
• 用于处理程度性概念或模糊信息。

模糊逻辑

• 真值是 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] 区间内的实数。
• 用于处理模糊性和连续变化的概念。

代数结构

• 把真假看成集合中的两个元素，逻辑联结词看成运算，真值对应着布尔代数。将真值看成变量，则是二值变量。
• 类似地，三值逻辑对应 Kleene 代数。将真值看成变量，是三值逻辑变量。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理