Schreier 细化定理

Schreier细化定理
术语名称	Schreier细化定理
英语名称	Schreier refinement theorem
别名	Schreier精细定理, Schreier精细化定理, Schreier's theorem, Schreier定理

细化
术语名称	细化
英语名称	refinement
别名	精细, 加细

等价
术语名称	等价
英语名称	equivalence

Schreier 细化定理(Schreier refinement theorem)是关于有限群结构的定理，描述了同一个群的两个不同次正规列、正规列总是能被细化成等价的子群序列。

定义

细化

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的两个（次）正规列 [math]\displaystyle{ G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\} }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ H_0,H_1\dots,H_n }[/math] 是 [math]\displaystyle{ G_0,G_1,\dots,G_m }[/math] 的子列，则称（次）正规列 [math]\displaystyle{ G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\} }[/math] 是（次）正规列 [math]\displaystyle{ G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\} }[/math] 的（次）正规细化(refinement)。

等价

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的两个（次）正规列 [math]\displaystyle{ G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\} }[/math] ，若非平凡的因子 [math]\displaystyle{ G_i/G_{i+1} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ H_j/H_{j+1} }[/math] 之间存在双射（或者说构成相同的多重集），则称两个（次）正规列等价(are equivalent)。

定理

对群的任意两个（次）正规列，存在等价的（次）正规细化。

构造

对两个（次）正规列 [math]\displaystyle{ G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\} }[/math] ， 其中任意两对相邻的子群 [math]\displaystyle{ G_{i+1},G_{i},H_{j+1},H_{j} }[/math] ，根据 Zassenhaus 引理都有正规子群关系 [math]\displaystyle{ G_{i+1}(G_i \cap H_{j+1}) \unrhd G_{i+1}(G_i \cap H_j) }[/math] 且商集上有同构关系。

记 [math]\displaystyle{ G_{i,j} = G_{i+1}(G_i \cap H_j), H_{i,j}=H{j+1}(H_j \cap G_i) }[/math] ，可得到 [math]\displaystyle{ G_{i,j} \unrhd G_{i,j+1} }[/math] 且 [math]\displaystyle{ G_{i,j}/G_{i,j+1} \cong H_{i,j}/H_{i+1,j} }[/math] 。 因此可以得到细化的序列 [math]\displaystyle{ G = G_{0,0} \unrhd G_{0,1} \unrhd \dots \unrhd G_{0,n} \unrhd G_{1,0} \unrhd \cdots \unrhd G_{1,n} \unrhd \cdots \unrhd G_{m-1,0} \unrhd \cdots \unrhd G_{m-1,n} = \{e\} }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ G = H_{0,0} \unrhd H_{1,0} \unrhd \cdots \unrhd H_{m,0} \unrhd H_{0,1} \unrhd \cdots \unrhd H_{m,1} \unrhd \cdots \unrhd H_{0,n-1} \unrhd \cdots \unrhd H_{m,n-1} = \{e\} }[/math] ，其中相邻的子群可能相同，且因子间满足 [math]\displaystyle{ G_{i,j}/G_{i,j+1} \cong H_{i,j}/H_{i+1,j} }[/math] 的对应关系。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群