交错群

交错群
术语名称	交错群
英语名称	alternating group
别名	交代群

n次交错群
术语名称	n次交错群
英语名称	alternating group of degree n
别名	n次交代群

交错群(alternating group)指有限集上的全体偶置换关于其复合所构成的群。是一种置换群，即对称群的子群。

定义

对有限集 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{1},\mathbf{2},\cdots,\mathbf{n}\} }[/math] ，其上的全体偶置换的集合关于变换的复合构成一个群，称为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次交错群(alternating group of degree [math]\displaystyle{ n }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ A_n }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathrm{Alt}(n) }[/math] 。

性质

[math]\displaystyle{ A_n = \ker \operatorname{sgn} }[/math] 。

对 [math]\displaystyle{ n\geq2 }[/math] 有 [math]\displaystyle{ [S_n:A_n]=2 }[/math] ，因此元素个数 [math]\displaystyle{ \left| A_n \right| = \tfrac{n!}{2} }[/math] 。

见交错群的结构。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群