Löwenheim–Skolem 定理

勒文海姆–斯科伦定理
术语名称	勒文海姆–斯科伦定理
英语名称	Löwenheim–Skolem theorem

Löwenheim–Skolem 定理(Löwenheim–Skolem theorem)是关于同一签名下不同基数的模型存在的定理。定理指出若模型存在，则无论是比参考模型更大还是更小，总是存在比签名任意更大基数的模型存在，且和参考模型满足初等子结构关系。

定义

对任意一阶语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上签名为 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 的结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] ，对满足 [math]\displaystyle{ \kappa\geq\operatorname{card}\sigma }[/math] 的任意基数 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] ：

• 若 [math]\displaystyle{ \kappa \lt \operatorname{card} A }[/math] （称为向下 Löwenheim–Skolem 定理(downward Löwenheim–Skolem theorem)），则必然存在结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 同时满足初等子结构关系 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}\preceq\mathfrak{A} }[/math] 和基数要求 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} M = \kappa }[/math] 。此外，对任意满足 [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \operatorname{card}X \leq \kappa }[/math] 的集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ X\subseteq M }[/math] 。
• 若 [math]\displaystyle{ \kappa \geq \operatorname{card}A }[/math] （称为向上 Löwenheim–Skolem 定理(upward Löwenheim–Skolem theorem)），则必然存在结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 同时满足初等扩张关系 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}\succeq\mathfrak{A} }[/math] 和基数要求 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} M = \kappa }[/math] 。

说明

• 定理要求一阶逻辑语言。
• 在部分材料中，不是按签名的基数讨论，而是按语言的基数讨论，其对应转换为语言的签名即与上述定义相同。
• 在部分材料中，会表述为任意有限或可数无穷的一阶语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] ，然后后续都更新为对应表述。

意义

• 容纳关于自然数、实数等无穷集合的理论，引入了谓词、函项无限集以后，都受到这一定理影响。如果只用一阶模型进行刻画，则这一定理说明了必然存在不同构的模型。其中传统上的自然数、实数称为自然数、实数的标准模型，其他满足同一理论的模型称为自然数、实数的非标准模型。
• 这一定理实际上初步得出了无穷的一阶理论不可能只有只有一种同构意义下唯一的模型，在 Gödel 不完备定理之前就给出了以某种一阶语言完成全部算术推理不可能只有一个同构模型的推论。

模型论
研究对象	理论和模型	形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math]		形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math]
	刻画性质	语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性		签名、基数（有限、无穷）
	相互关系	模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ）		理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型
模型间的关系
同构		同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
子模型相关		子模型（子结构）、扩张	模型链	同构嵌入
初等子模型相关		初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math]	初等链、初等链的极限	初等嵌入
初等等价		初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
相关定理		Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试
		图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]）
理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
刻画		Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性
应用	模型分类	标准模型、非标准模型
	定理	（Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试
理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
模型完备性		理论的模型完备性	理论的子模型完备性	理论的模型完备化