初等子模型
| 初等子结构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等子结构 |
| 英语名称 | elementary substructure |
| 别名 | 初等子结构 |
| 初等子模型 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等子模型 |
| 英语名称 | elementary submodel |
| 别名 | 基本子模型 |
| 初等扩张 | |
|---|---|
| 术语名称 | 初等扩张 |
| 英语名称 | elementary extension |
| 别名 | 基本扩张 |
一个结构的初等子结构(elementary substructure)，指一个论域是这个结构论域子集的结构，且两结构对这个语言中的任意表达式，两个结构在这个子集上的对应赋值上的情况均相同。相反称为初等扩张(elementary extension)。讨论语言或理论的模型时，称为初等子模型(elementary submodel)。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上有相同签名的两个结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}=(B,J) }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] 且：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中含有自由变元 [math]\displaystyle{ x_1,\cdots,x_n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 和任意个体对象 [math]\displaystyle{ a_1,\cdots,a_n\in A }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi[a_1/x_1,\cdots,a_n/x_n] }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi[a_1/x_1,\cdots,a_n/x_n] }[/math] 。
则称结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的初等子结构(elementary substructure)，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B} }[/math] ，也称结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的初等扩张(elementary extension)，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\succeq\mathfrak{A} }[/math] 。
当讨论理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的两个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 时，称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的初等子模型(elementary submodel)。
注：一般定义为个体对象代入，但这一表述也可以表述为赋值之间的关系：
- 对任意 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中含有自由变元 [math]\displaystyle{ x_1,\cdots,x_n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 和任意个体变项赋值 [math]\displaystyle{ v: \operatorname{Var}(\mathcal{L})\to A; x_1\mapsto a_1,\cdots,x_n\mapsto a_n }[/math] ，构成的两个赋值 [math]\displaystyle{ (\mathfrak{A}, v) = (A, I, v) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (\mathfrak{B}, v) = (B, J, v) }[/math] 之间有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi^v }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi^v }[/math] 。
说明
- 第二条条件足够强，可以证明子结构除子集外的后续要求。即：一个初等子结构是一个子结构；一个初等子模型是一个子模型。
- 普通的子结构关系中，由于论域变化，含有量词的公式可能真值发生改变。初等子结构强化条件保证一阶公式的真值在初等子结构中保持不变。
- 第二条条件比初等等价中的条件要强，要求任意公式上的赋值，而初等等价只要求任意闭式上的结构。因此初等子结构一定和原结构初等等价。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |