集合范畴
| 集合范畴 | |
|---|---|
| 术语名称 | 集合范畴 |
| 英语名称 | category of sets |
集合范畴(category of sets)指对象是集合、态射是集合间全体映射的范畴。
描述
| 集合范畴 | |
|---|---|
| 对象名称 | 集合范畴 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] |
| Latex | \mathbf{Set}
|
| 对象类别 | 范畴 |
对象是集合的范畴称为集合范畴(category of sets)，记作 [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] ，其中：
- 对象类 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathbf{Set}) }[/math] 是全体集合构成的真类；
- 对任意两个对象，也就是集合 [math]\displaystyle{ A, B }[/math] ，对象间的态射集合 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathbf{Set} (A,B) }[/math] 是集合 [math]\displaystyle{ A, B }[/math] 间全体映射的集合 [math]\displaystyle{ B^A }[/math] ；
- 合成法则是映射的复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] 。有结合性且有恒等映射作为单位态射。
性质
集合范畴 [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] 中：
- 空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] 是唯一的始对象，到任意对象都有空映射作为唯一态射；任意单点集 [math]\displaystyle{ \{*\} }[/math] 是终对象，从任意对象都有恒等映射作为唯一态射。
- 有积、有余积：对集合对象 [math]\displaystyle{ A, B }[/math] ，笛卡尔积 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math] 是其积，不交并 [math]\displaystyle{ A\sqcup B }[/math] 是其余积。
集合范畴中的单态射和分裂单态射都是单射，满态射和分裂满态射都是满射，双态射和同构态射都是双射。 集合范畴中，对象上的自同态是集合上的变换，对象上的自同构是集合上的置换。
| 集合范畴 [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 对应数学对象 | |||||
| 对象 | 集合 | [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathbf{Set}) }[/math] | 全体集合构成的真类 | 小范畴？ | 否 |
| 态射 | 映射 | [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(A,B) }[/math] | [math]\displaystyle{ B^A }[/math] | 局部小范畴？ | 是 |
| 自同态 [math]\displaystyle{ \mathrm{End}_\mathbf{Set}(A) }[/math] | 变换 [math]\displaystyle{ A^A }[/math] | 复合法则 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] | 映射的复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] | 单位态射 [math]\displaystyle{ i_A }[/math] | 恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_A }[/math] |
| 态射类型 | |||||
| 单态射 | 单射 | 满态射 | 满射 | 双态射 | 双射 |
| 分裂单态射 | 单射 | 分裂满态射 | 满射 | 同构 [math]\displaystyle{ \mathrm{Iso}_\mathbf{Set}(A,B) }[/math] | 双射 |
| 自同构 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}_\mathbf{Set}(A) }[/math] | 置换 [math]\displaystyle{ S_A }[/math]·[math]\displaystyle{ \mathrm{Sym}(A) }[/math] | 同构的逆 [math]\displaystyle{ ^{-1} }[/math] | 逆映射 [math]\displaystyle{ ^{-1} }[/math] | ||
| 泛在结构 | |||||
| 始对象 态射 |
空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] 空映射 |
终对象 态射 |
单点集 [math]\displaystyle{ \{*\} }[/math] 常值映射 |
是零对象？ | 否 |
| 积 [math]\displaystyle{ \times }[/math] 积态射 |
有任意积 笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math] 映射的笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math] |
余积 [math]\displaystyle{ \coprod }[/math] 余积态射 |
有任意余积 不交并 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math] 分段映射 |
||
具体范畴
对局部小范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 和函子 [math]\displaystyle{ U }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ U:\mathcal{C} \to \mathbf{Set} }[/math] 是忠实函子，则称其构成的对 [math]\displaystyle{ (\mathcal{C}, U) }[/math] 是一个具体范畴(concrete category)。若对一个范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 存在 [math]\displaystyle{ U }[/math] 是具体范畴，则称范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 是可具体化的(concretizable)。
也可以简单地定义为范畴的对象类中全部的对象都可以对应到不同的集合，并且态射对应到集合之间的映射。因此此时也可以认为这样的范畴是集合范畴的一个子范畴。
也有人直接定义为类 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathcal{C}) }[/math] 的成员都是集合的范畴。
具体范畴在局部小范畴下，但是不一定是小范畴。所有的局部范畴都有类似 [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] 的性质。
| 范畴、态射 | ||
|---|---|---|
| 基本概念 | 范畴 | 态射、交换图 |
| 态射 | 单态射、满态射 | 双态射 |
| 分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面） | 同构 | |
| 泛在结构、泛性质 | ||
| 终端对象 | 始对象、终对象 | 零对象、零态射 |
| 泛在结构 | 切片范畴、余切片范畴 | - |
| 楔、余楔·楔范畴、余楔范畴 | 积、余积 | |
| 锥、余锥·锥范畴、余锥范畴 | 极限、余极限 | |
| - | 等化子、余等化子 | |
| - | 核、余核 | |