完备、部分（型）
| 完备型 | |
|---|---|
| 术语名称 | 完备型 |
| 英语名称 | complete type |
| 别名 | 完全型 |
| 部分型 | |
|---|---|
| 术语名称 | 部分型 |
| 英语名称 | partial type |
一个模型的型是刻画模型的公式集，其中在集合的包含关系下极大的称为完备型(complete type)，其余的称为部分型(partial type)。可以认为，作为模型的一个一致公式集，每个完备型都是一个极大一致的公式集，刻画了一个（或一类）个体对象的性质，任何一个公式要么对这些个体对象成立且在这个公式集中，要么对这些个体对象不成立且在这个公式外。
定义
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 、参数集 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 在参数集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的多个 [math]\displaystyle{ n }[/math]-型之间有相互包含关系，其中在包含关系中的极大元称为模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 在参数集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的完备 [math]\displaystyle{ n }[/math]-型。
对形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 、参数集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、个体对象元组 [math]\displaystyle{ (b_1,b_2,\cdots,b_n)=\bar{b}\in M^n }[/math] ，模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 在参数集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上由元组 [math]\displaystyle{ \bar{b} }[/math] 实现的多个 [math]\displaystyle{ n }[/math]-型之间有相互包含关系，其中在包含关系中的极大元仅有一个，恰包含 [math]\displaystyle{ \bar{b} }[/math] 满足的全体公式，称为模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 在参数集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上由 [math]\displaystyle{ \bar{b} }[/math] 实现的完备 [math]\displaystyle{ n }[/math]-型(complete [math]\displaystyle{ n }[/math]-type realized by [math]\displaystyle{ \bar{b} }[/math] of [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] over [math]\displaystyle{ A }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ \mathrm{tp}^\mathfrak{M}_n (\bar{b}/A) }[/math] 。不是完备的称为部分 [math]\displaystyle{ n }[/math]-型(partial [math]\displaystyle{ n }[/math]-type)。
当不需要讨论 [math]\displaystyle{ n }[/math] 或 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的具体取值不重要时，也直接省略为完备型(complete type)和部分型(partial type)，记号也可以省略为 [math]\displaystyle{ \mathrm{tp}^\mathfrak{M} (\bar{b}/A) }[/math] 。
说明
模型论域中的每个个体对象（或其元组）都对应有且仅有一个完备型，在模型中被这个个体对象（或元组）实现的型，也就是这个个体对象所满足的全体公式的集合。任意不属于这个集合的公式都一定不对这个个体对象（或元组）成立，加入后不再一致，因此也是这个模型在同一参数集上的完备型。
模型在参数集上的完备型除了被元素实现的完备型外，也有一些没被实现的型是完备型。这些本身是型，也就是任意的有限子集都被满足，但在加入其他公式后产生了新的有限子集不再被满足。
同一个模型中给定参数集时，不同个体对象可能有相同的完全型，也就是在给定语言及参数集中，不同元素可能无法被某个参数集中的一阶公式区分。
- 在包含复数四则运算的语言中，仅包含实数的参数集上， [math]\displaystyle{ \mathrm{i} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ -\mathrm{i} }[/math] 实现相同的公式集，有相同的完备 1-型。
- 在包含整数集和整数的序关系的语言中，以空集作为参数集时，每个元素都有相同的完备 1-型。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |